Теорема Новикова о компактном слое

Теорема Новикова о компактном слое: Двумерное слоение на трехмерном многообразии с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.

Теорема Новикова о компактном слое на сфере $S^3$$S^{3}$Править

Теорема: Гладкое двумерное слоение на сфере $S^3$$S^{3}$  имеет компактный слой, диффеоморфный тору $T^2$$T^{2}$  и ограничивающий область $D^2\times <!--\; \times \; -->S^1$$D^{2}\times S^{1}$  со слоением Риба.

Доказана С. П. Новиковым в 1964 г. До этого Шарль Эресманн высказал гипотезу, что любое гладкое двумерное слоение на $S^3$$S^{3}$  имеет компактный слой, что было справедливо для всех известных тогда примеров. Так, слоение Риба имеет слой, являющийся тором $T^2$$T^{2}$ .

Теорема Новикова о компактном слое на произвольном $M^3$$M^{3}$Править

В 1965 году была доказана теорема о компактном слое для произвольного многообразия $M^3$$M^{3}$ :

Теорема: Пусть на замкнутом многообразии $M^3$$M^{3}$  с заданным на нём гладким двумерным слоением $F$$F$  выполняется одно из условий:

1. фундаментальная группа ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(M^3)$$\pi _{1}(M^{3})$  конечна,
2. вторая гомотопическая группа ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_2(M^3)\ne <!--\; \ne \; -->0$$\pi _{2}(M^{3})\neq 0$ ,
3. существует замкнутая трансверсаль, гомотопная нулю,
4. существует слой $L\in <!--\; \in \; -->F$$L\in F$  такой, что отображение ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(L)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(M^3)$$\pi _{1}(L)\to \pi _{1}(M^{3})$ , индуцированное включением, имеет нетривиальное ядро.

Тогда $F$$F$  имеет компактный слой рода $g\le <!--\; \le \; -->1$$g\leq 1$ . Более того, во всех случаях, кроме случая 2, слоение включает рибовскую компоненту, а в случае 2 либо $F$$F$  включает рибовскую компоненту, либо все слои замкнуты и диффеоморфны сферам $S^2$$S^{2}$  или проективным плоскостям $R{P}^2$$RP^{2}$ .

В терминах накрытий эта теорема формулируется следующим образом:

Гладкое двумерное слоение на замкнутом многообразии $M^3$$M^{3}$  с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.

Обобщение на случай негладкого слоения на $M^3$$M^{3}$Править

В 1965 году теорема Новикова была доказана для слоений класса $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$C^\infty$ .

В 1970 году было дано доказательство для класса $C^2$$C^{2}$ ,

В 1975 году — для слоений класса $C^1$$C^1$ .

Наконец, в 1982 году В. Солодов доказал теорему Новикова для слоений класса $C^0$$C^{0}$ . Этот результат тем более интересен, что ещё в 1974 году П. Швейцер в построил примеры $C^0$$C^{0}$ -слоений на сферах $S^{2k+1}$$S^{2k+1}$ , $k>1$$k>1$ , не имеющих компактных слоев.

Обобщение теоремы Новикова на сфере $S^3$$S^{3}$ на слоения с особенностямиПравить

В 1973 году Вагнер рассмотрел слоения коразмерности 1 с морсовскими особенностями (то есть локально устроенными как множества поверхностей уровня функции Морса) на сфере $S^3$$S^{3}$ . Морсовские особенности бывают «сферическими» и «коническими».

Теорема: Пусть слоение имеет s сферических особенностей и с конических.

• Если $s=c$$s=c$ , слоение включает рибовскую компоненту.

• Если $s>c$$s>c$ , то $s=c+2$$s=c+2$  и у такого слоения общего положения все неособые слои диффеоморфны сфере $S^2$$S^{2}$ .

• Если $s<c$ , слоение может не иметь компактных слоев.

ЛитератураПравить

• С. П. Новиков. Топология слоений//Тр. Моск. мат. о-ва. — 1965. — Т.14. — с.249—278.
• И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
• D. Sullivan, Cycles for the dynamical study of foliated manifolds and complex manifolds, Invent. Math., 36 (1976), p. 225—255.[1]