Лемма Морса

Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса.

ФормулировкаПравить

Пусть $f:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$  — функция класса $C^{r+2}$$C^{r+2}$ , где $r\ge <!--\; \ge \; -->1$$r\geq 1$ , имеющая точку $0\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$0\in \mathbb{R} ^{n}$  своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}$$\frac{\partial f}{\partial x}$  обращается в нуль, а гессиан $|\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}|$${\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}$  отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности $U$$U$  точки $0$$0$  существует такая система $C^r$$C^{r}$ -гладких локальных координат (карта) $(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$  с началом в точке $0$$0$ , что для всех $x\in <!--\; \in \; -->U$$x\in U$  имеет место равенство

$f(x)=f(0)-<!--\; -\; -->x_1^2-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->x_k^2+x_{k+1}^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n^2$$f(x)=f(0)-x_{1}^{2}-\dots -x_{k}^{2}+x_{{k+1}}^{2}+\dots +x_{n}^{2}$ .

При этом число $k$$k$ , определяемое сигнатурой квадратичной части ростка $f$$f$  в точке $0$$0$ , называется индексом критической точки $0$$0$  данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса.

Вариации и обобщенияПравить

Теорема ТужронаПравить

В окрестности критической точки $0$$0$  конечной кратности $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  существует система координат, в которой гладкая функция $f(x)$$f(x)$  имеет вид многочлена $P_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+1}(x)$$P_{{\mu +1}}(x)$  степени $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+1$$\mu +1$  (в качестве $P_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+1}(x)$$P_{{\mu +1}}(x)$  можно взять многочлен Тейлора функции $f(x)$$f(x)$  в точке $0$$0$  в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1$$\mu =1$ , и теорема Тужрона превращается в лемму Морса.

Лемма Морса с параметрамиПравить

Пусть $f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n,y_1,\dots <!--\; \dots \; -->,y_m):{\mathbb{R}}^{n+m}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}):\mathbb{R} ^{{n+m}}\to \mathbb{R}$  — гладкая функция, имеющая начало координат $0$$0$  своей критической точкой, невырожденной по переменным $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{1},\ldots ,x_{n}$ . Тогда в окрестности точки $0$$0$  существуют гладкие координаты, в которых

$f(x,y)={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1{x}_1^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n{x}_n^2+f_0(y_1,\dots <!--\; \dots \; -->,y_m),{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i=\pm <!--\; \pm \; -->1,$$f(x,y)=\alpha _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}^{2}\,+\,f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,$ 

где $f_0$$f_0$  — некоторая гладкая функция. Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от $n+m$$n+m$  переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции).

Доказательство этого утверждения может быть проведено индукцией по n с использованием леммы Адамара или другим способом.

О доказательствахПравить

Обычно доказывается прямым построением диффеоморфизма. Более концептуальное доказательство использует трюк Мозера.

ЛитератураПравить

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. — М.: МЦНМО, 2009. — 672 с. — ISBN 978-5-94057-456-9.

• Даринский Б. М., Сапронов Ю. И., Царёв С. Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3-140.

• Зорич В. А. Математический анализ.

• Милнор, Дж. Теория Морса / Пер. с англ. В. И. Арнольда. — 1965. — 184 с.

• Милнор, Дж. Теория Морса / Пер. с англ. В. И. Арнольда. — 1965. — 184 с.

• Хирш М. Дифференциальная топология / Пер. с англ. Д.Б. Фукса.. — М.: Мир, 1979. — 279 с.

• Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.

• Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Введение в теорию особенностей. — М.: Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4.