Распределение (дифференциальная геометрия)

Распределением на многообразии $M$$M$ называется подрасслоение касательного расслоения многообразия. Другими словами, в каждой точке $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$ выбрано линейное подпространство ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_x$$\Delta _{x}$ касательного пространства $T_{x}M$$T_{x}M$ которое гладко зависит от точки $x$$x$.

Распределения используются в теории интегрируемости и в теории слоений на многообразии.

ОпределениеПравить

Пусть $M$$M$  — гладкое $n$$n$ -мерное многообразие и $k\le <!--\; \le \; -->n$$k\leq n$ . Предположим, что в каждой точке $x\in <!--\; \in \; -->M$$x \in M$  выбрано $k$$k$ -мерное подпространство ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_x\subset <!--\; \subset \; -->T_x(M)$$\Delta _{x}\subset T_{x}(M)$  касательного пространства такое, что у любой точки $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$  существует окрестность $U_x\subset <!--\; \subset \; -->M$$U_{x}\subset M$  и $k$$k$  линейно независимых гладких векторных полей $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_k$$X_{1},\ldots ,X_{k}$ , причем для любой точки $y\in <!--\; \in \; -->U_x$$y\in U_{x}$ , векторы $X_1(y),\dots <!--\; \dots \; -->,X_k(y)$$X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)$  составляют базис подпространства ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_y\subset <!--\; \subset \; -->T_y(M)$$\Delta _{y}\subset T_{y}(M)$ .

В этом случае, совокупность $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  всех подпространств ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_x$$\Delta _{x}$ , $x\in <!--\; \in \; -->M$$x \in M$ , называется $k$$k$ -мерным распределением на многообразии $M$$M$ .

При этом векторные поля $\{X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_k\}$$\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$  называется локальным базисом распределения $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}.$$\Delta .$ 

Инволютивные распределенияПравить

Распределение $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  на $M$$M$  называется инволютивным, если в окрестности каждой точки $x\in <!--\; \in \; -->M$$x \in M$  существует локальный базис распределения $\{X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_k\}$$\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$  такой, что все скобки Ли векторных полей $[X_i,X_j]$$[X_{i},X_{j}]$  принадлежат линейной оболочке $\{X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_k\}$$\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ , то есть $[X_i,X_j]$$[X_{i},X_{j}]$  являются линейными комбинациями векторов $\{X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_k\}.$$\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}.$  Условие инволютивности распределения $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  записывается как $[\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->},\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}]\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$[\Delta ,\Delta ]\subset \Delta$ .

Инволютивные распределения являются касательными пространствами к слоениям. Инволютивные распределения важны тем, что они удовлетворяют условиям теоремы Фробениуса, и таким образом, приводят к интегрируемым системам.

Задание распределения системой 1-формПравить

На открытом множестве $U\subset <!--\; \subset \; -->M$$U\subset M$  $k$$k$ -мерное распределение $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  может быть задано системой гладких 1-форм ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->k}$$\omega _{1},\dots ,\omega _{n-k}$ , определенных в $U$$U$  и линейно независимых в каждой точке: оно определяется уравнениями ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=0$$\omega _{i}(\xi )=0$ . Если $\{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->k}\}$$\{\omega _{1}\dots ,\omega _{n-k}\}$  и $\{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1^{\prime },\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->k}^{\prime }\}$$\{\omega _{1}',\dots ,\omega _{n-k}'\}$  — системы 1-форм, определяющие распределение $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  в $U$$U$  и в $U^{\prime }$$U'$ , то в пересечении $U\cap <!--\; \cap \; -->U^{\prime }$$U\cap U'$  форма ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i=\sum <!--\; \sum \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{ij}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_j$$\omega _{i}=\sum \phi _{ij}\omega _{j}$ , где ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{ij}$$\phi _{ij}$  — такие гладкие функции, что $det({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{ij})\ne <!--\; \ne \; -->0$$\det(\phi _{ij})\neq 0$  в $U\cap <!--\; \cap \; -->U^{\prime }$$U\cap U'$ . Если $U=M$$U=M$ , говорят, что задана глобальная определяющая система форм.

Интегрируемость распределенияПравить

$k$$k$ -мерное распределение называется интегрируемым, если через каждую точку $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$  проходит $k$$k$ -мерная интегральная поверхность, которая касается распределения в каждой своей точке.

Одномерное распределение задается не обращающимся в ноль векторным полем. Такое распределение всегда интегрируемо в силу локальной теоремы существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

В $k$$k$ -мерном случае, $k>1$$k>1$ , существуют как интегрируемые, так и неинтегрируемые распределения. Теорема Фробениуса дает необходимое и достаточное условие интегрируемости распределения.

Теорема Фробениуса в терминах векторных полейПравить

Теорема: $k$$k$ -мерное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда множество векторов, касательных к распределению, замкнуто относительно скобки Ли.

Таким образом, инволютивные распределения являются интегрируемыми.

Теорема Фробениуса в терминах 1-формПравить

Теорема: $k$$k$ -мерное распределение, заданное системой гладких 1-форм ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->k}$$\omega _{1},\dots ,\omega _{n-k}$ , интегрируемо тогда и только тогда, когда всякий дифференциал

$d{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i=\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_j^i\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_j$$d\omega _{i}=\sum _{j}\eta _{j}^{i}\wedge \omega _{j}$ ,

где ${\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_j^i$$\eta _{j}^{i}$  — гладкие 1-формы. Если определяющие формы ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i$$\omega _{{i}}$  независимы, это условие эквивалентно системе

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1\wedge <!--\; \wedge \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->k}\wedge <!--\; \wedge \; -->d{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i=0$$\omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{n-k}\wedge d\omega _{i}=0$ .

Интегрируемое распределение $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  определяет слоение на многообразии $M$$M$ : его слоями являются интегральные поверхности распределения. Заметим, что $1$$1$ -мерное распределение всегда интегрируемо, следовательно, порождает $1$$1$ -мерное слоение.

Теорема ТёрстонаПравить

Теорема Тёрстона: На замкнутом многообразии всякое распределение гомотопно интегрируемому , .

Для открытого многообразия критерий гомотопности распределения некоторому интегрируемому распределению был найден Хэфлигером.

См. такжеПравить

• Слоение
• Пфаффово уравнение
• Субриманово многообразие

ЛитератураПравить

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989.