Ковариантный вектор

В линейной алгебре ковариантный вектор на векторном пространстве — это то же самое, что и линейная форма (линейный функционал) на этом пространстве.

В дифференциальной геометрии ковариантный вектор на дифференцируемом многообразии — это гладкое сечение кокасательного расслоения. Эквивалентно, ковариантный вектор на многообразии M — это гладкое отображение тотального пространства касательного расслоения M в R, ограничение которого на каждый слой — это линейный функционал на касательном пространстве. Это запишется так:

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}:TM\to <!--\; \to \; -->\mathbf{R},{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_x=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{|}_{T_{x}M}:T_{x}M\to <!--\; \to \; -->\mathbf{R}$$\alpha :TM\rightarrow {{\mathbf R}},\quad \alpha _{x}=\alpha |_{{T_{x}M}}:T_{x}M\rightarrow {{\mathbf R}}$

где α_x линейно.

Ко- и контравариантные векторы в пространствах (на многообразиях) с невырожденной метрикойПравить

Далее подразумевается, что на пространстве, в котором существуют описанные объекты (или на многообразии, в касательном пространстве которого они существуют), задана невырожденная метрика.

Соответствие между векторами и ковекторамиПравить

Если определён невырожденный метрический тензор, то формально «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» можно считать просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть через набор ковариантных координат) или контравариантный (то есть через набор контравариантных координат). Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором:

$v_i=g_{ij}{v}^j$$\ v_{i}=g_{{ij}}v^{j}$ 

$v^i=g^{ij}{v}_j$$\ v^{i}=g^{{ij}}v_{j}$ 

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Различие между векторами и ковекторамиПравить

Содержательно векторы и ковекторы различают по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов — например, для градиента — естественно разложение по дуальному базису, так как их естественная свёртка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов (к которым принадлежит и само смещение по пространственным координатам $d{x}^i$$dx^{i}$ ) естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр $d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})d{x}^i$$\ d\varphi =(\partial _{i}\varphi )\,dx^{i}$  получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\ \partial _{i}\varphi$ , являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором $d{x}^i$$\ dx^{i}$ , являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; при этом сам с собой $d{x}^i$$\ dx^{i}$  свёртывается с помощью метрики: $(dx{)}^2=g_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$$\ (dx)^{2}=g_{{ij}}\,dx^{i}\,dx^{j}$ , что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идёт об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности/контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения $d{x}^i$$\ dx^{i}$ , являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свёртываются с $d{x}^i$$\ dx^{i}$  посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы (1-формы); в противном случае (свёртка требует участия метрики) это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты полностью абстрактны и нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает или становится также чисто условным.

Вопрос о том, является ли именно то представление, в каком мы видим объект, естественным для него, затронут уже чуть выше. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление, для ковектора же — ковариантное.

См. такжеПравить

• Дифференциальная форма
• Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством
• Ковариантность и контравариантность
• Контравариантный вектор

ЛитератураПравить

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.