Подпространство

Подпростра́нство — понятие, используемое (непосредственно или в словосочетаниях) в различных разделах математики.

Подпространство — подмножество некоторого пространства (аффинного, векторного, проективного, топологического, метрического и так далее), которое само является пространством соответствующего типа со свойствами, индуцированными объемлющим пространством.

Приставка «под» используется в том же смысле для других математических объектов, например подграф, подгруппа, подкатегория и так далее.

ПримерыПравить

• Непустое подмножество $L^{\prime }\subset <!--\; \subset \; -->L$$L'\subset L$  векторного (линейного) пространства $L$$L$  над полем $F$$F$  является векторным (линейным) подпространством, если выполнены два свойства: для всяких векторов $x,y\in <!--\; \in \; -->L^{\prime }$$x,y\in L'$  сумма $x+y\in <!--\; \in \; -->L^{\prime }$$x+y\in L'$  и для всякого вектора $x\in <!--\; \in \; -->L^{\prime }$$x\in L'$  и любого $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->F$$\alpha \in F$  вектор $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x\in <!--\; \in \; -->L^{\prime }$$\alpha x\in L'$ . В частности, подпространство $L^{\prime }$$L'$  обязательно содержит нулевой вектор пространства $L$$L$  (он также является нулевым вектором пространства $L^{\prime }$$L'$ ).

• Векторное подпространство $L^{\prime }\subset <!--\; \subset \; -->L$$L'\subset L$  называется собственным подпространством, если $L^{\prime }\ne <!--\; \ne \; -->L$$L'\neq L$  и $L^{\prime }$$L'$  содержит хотя бы один ненулевой вектор.

• Векторное подпространство $L^{\prime }\subset <!--\; \subset \; -->L$$L'\subset L$  называется инвариантным подпространством линейного отображения $A:L\to <!--\; \to \; -->L$$A:L\to L$ , если $A(L^{\prime })\subset <!--\; \subset \; -->L^{\prime }$$A(L')\subset L'$ , то есть $A(x)\in <!--\; \in \; -->L^{\prime }$$A(x)\in L'$  для любого вектора $x\in <!--\; \in \; -->L^{\prime }$$x\in L'$ . Если $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  — собственное значение отображения $A$$A$ , то все векторы $e\in <!--\; \in \; -->L$$e\in L$ , удовлетворяющие соотношению $A(e)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}e$$A(e)=\lambda e$  (включая и нулевой вектор), образуют инвариантное подпространство отображения $A$$A$ . Оно называется собственным подпространством, соответствующим данному собственному значению $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ .

• Подпространство евклидова векторного пространства также является евклидовым пространством, но подпространство псевдоевклидова векторного пространства может быть и псевдоевклидовым (другой сигнатуры), и евклидовым пространством, а также может быть вырожденным или изотропным.

• Подпространство $M^{\prime }\subset <!--\; \subset \; -->M$$M'\subset M$  метрического пространства $M$$M$  с метрикой $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  обладает индуцированной метрикой ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\prime }$$\rho'$ , которая определена формулой ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\prime }(x,y)=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x,y)$$\rho '(x,y)=\rho (x,y)$  для любых $x,y\in <!--\; \in \; -->M^{\prime }$$x,y\in M'$ .

• Подпространство $T^{\prime }\subset <!--\; \subset \; -->T$$T'\subset T$  топологического пространства $T$$T$  с топологией $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  обладает индуцированной топологией ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime }$$\tau '$ , открытыми множествами в которой являются множества $G_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime }}=G_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->T^{\prime }$$G_{\tau '}=G_{\tau }\cap T'$ , где $G_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$G_{\tau }$  — всевозможные открытые множества в топологии $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ .

• Пусть $P=P(L)$$P=P(L)$  — проективное пространство, состоящее из прямых векторного пространства $L$$L$ , и $L^{\prime }\subset <!--\; \subset \; -->L$$L'\subset L$  — векторное подпространство. Тогда проективное пространство $P^{\prime }=P(L^{\prime })\subset <!--\; \subset \; -->P$$P'=P(L')\subset P$  является проективным подпространством.