Остаточно конечная группа

Остаточно конечная или финитно аппроксимируемая группа — группа $G$$G$ такая, что для любого элемента $g\ne <!--\; \ne \; -->1$$g\neq 1$ найдётся гомоморфизм $h:<!--\; :\; -->G\to <!--\; \to \; -->F$$h\colon G\to F$ в конечную группу $F$$F$, удовлетворяющий условию $h(g)\ne <!--\; \ne \; -->1$$h(g)\neq 1$.

ПримерыПравить

• Любая конечная группа остаточно конечна;
• Любая свободная группа остаточно конечна;
• Любая конечно порождённая нильпотентная группа остаточно конечна;
• Фундаментальная группа 3-мерного многообразия остаточно конечна;
• Группа Баумслага — Солитера $BS(m,n)$$BS(m,n)$  остаточно конечна тогда и только тогда когда $|m|=1$$|m|=1$ , $|n|=1$$|n|=1$ , или $|m|=|n|$$|m|=|n|$ .

СвойстваПравить

• Теорема Мальцева. Всякая конечно порождённая подгруппа общей линейной группы является остаточно конечной.
• Подгруппа остаточно конечной группы является остаточно конечной.
• Прямое произведение остаточно конечных групп является остаточно конечным.
• Обратный предел остаточно конечных групп является остаточно конечным.
  • В частности, проконечные группы являются остаточно конечными.
• Любая конечно порожденная остаточно конечная группа является хопфовой, то есть не имеет собственных факторгрупп, изоморфных ей самой.