Группа Баумслага — Солитера

Группа Баумслага — Солитера  — группа с двумя образующими $a$$a$ и $b$$b$ и одним соотношением

Граф Кэли группы $BS(1,2)$$BS(1,2)$.

$a{b}^m{a}^{-<!--\; -\; -->1}=b^n.$$ab^{m}a^{-1}=b^{n}.$

Обычно, эта группа обычно обозначается $BS(m,n)$$BS(m,n)$.

Примеры и свойстваПравить

• $BS(1,1)$$BS(1,1)$  это свободная абелева группа с двумя образующими,
• $BS(1,-<!--\; -\; -->1)$$BS(1,-1)$  фундаментальная группа бутылки Клейна
• $BS(1,n)$$BS(1,n)$  при $n>1$$n>1$  изоморфна подгруппе группы аффинных преобразований вещественной прямой, порождённая отображениями $a:x\to <!--\; \to \; -->nx$$a:x\to nx$  и $b:x\to <!--\; \to \; -->x+1$$b:x\to x+1$ .
• Группа $BS(2,3)$$BS(2,3)$  (наряду с остальными группами $BS(m,n)$$BS(m,n)$ , для которых множества простых делителей чисел m и n не совпадают) является наиболее известным примером нехопфовой группы. А именно, эпиморфизм $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:a\mapsto <!--\; \mapsto \; -->a,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:b\mapsto <!--\; \mapsto \; -->b^2$$\varphi :a\mapsto a,\,\varphi :b\mapsto b^{2}$  не является автоморфизмом $BS(2,3)$$BS(2,3)$ .
• Группа $BS(n,m)$$BS(n,m)$  допускает линейное представление $a\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}$  and $b\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}$ .
  • Это преставление не является эффективным, то есть различные элементы группу могут соответствовать одному линейному оператору.
• Группа $BS(m,n)$$BS(m,n)$  остаточно конечна тогда и только тогда когда $|m|=1$$|m|=1$ , $|n|=1$$|n|=1$ , или $|m|=|n|$$|m|=|n|$ 

СсылкиПравить

• D.J. Collins (2001), «Baumslag-Solitar group Архивная копия от 26 июня 2010 на Wayback Machine», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
• Gilbert Baumslag and Donald Solitar, Some two-generator one-relator non-Hopfian groups Архивная копия от 29 ноября 2015 на Wayback Machine, Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962), 199—201. MR: 0142635