Порождающее множество группы

Порождающее множество группы — это такое её подмножество, что каждый её элемент может быть представлен в виде конечного произведения элементов из этого подмножества и их обратных. Также используются термины множество образующих и система образующих.

Одна и та же группа может иметь много разных порождающих множеств. Указание порождающего множества позволяет ввести на группе структуру графа Кэли. Кроме того, группы можно задавать, указывая порождающие множества и соотношения между ними.

ОпределениеПравить

Пусть $S$$S$  — подмножество группы $G$$G$ . Подгруппой, порождённой множеством $S$$S$ , называется множество $⟨<!--\; ⟨\; -->S⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle S\rangle$  всех элементов, которые могут быть представлены в виде конечного произведения элементов из $S$$S$  и их обратных. (другими словами, в G нет хотя бы одной собственной подгруппы, содержащей S) Если $S$$S$  пусто, то, по-определению, $⟨<!--\; ⟨\; -->S⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle S\rangle$  является тривиальной подгруппой, состоящей только из нейтрального элемента.

Если $G=⟨<!--\; ⟨\; -->S⟩<!--\; ⟩\; -->$$G=\langle S\rangle$ , то говорят, что $S$$S$  порождает группу $G$$G$ . При этом множество $S$$S$  называется порождающим, а его элементы — образующими или генераторами (от англ. generators) группы.

Любая группа имеет хотя бы одно порождающее множество: $G=⟨<!--\; ⟨\; -->G⟩<!--\; ⟩\; -->$$G=\langle G\rangle$ .

Если в группе $G$$G$  можно выбрать конечное множество образующих, то её называют конечно порождённой. Мощность наименьшего порождающего множества группы называется её рангом.

Например, циклические группы — это в точности группы ранга один.

ЗамечанияПравить

• Множество $⟨<!--\; ⟨\; -->S⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle S\rangle$  совпадает с пересечением всех подгрупп группы $G$$G$ , содержащих $S$$S$ , и является наименьшей подгруппой в $G$$G$ , содержащей $S$$S$ .

• Если $S$$S$  состоит только из одного элемента $x$$x$ , обычно пишут $⟨<!--\; ⟨\; -->x⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle x\rangle$  вместо $⟨<!--\; ⟨\; -->\{x\}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle \{x\}\rangle$ . В таком случае $⟨<!--\; ⟨\; -->x⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle x\rangle$  — циклическая подгруппа, состоящая из всех степеней элемента $x$$x$ .

Порождающие полугруппы и моноидаПравить

Для случая, когда $G$$G$  является полугруппой или моноидом, тоже можно ввести аналогичное понятие порождающего множества: $S$$S$  порождает $G$$G$  как полугруппу или моноид, если $G$$G$  является минимальной полугруппой или минимальным моноидом соответственно, содержащим $S$$S$ .

Такое определение тоже можно изложить на языке представимости элемента в виде комбинации. Для полугруппы можно сказать, что $S$$S$  является порождающим множеством, если каждый элемент $G$$G$  можно представить как конечное произведение элементов из $S$$S$ . Для моноида можно сказать, что $S$$S$  является порождающим множеством, если каждый элемент $G$$G$ , кроме нейтрального, можно представить как конечное произведение элементов из $S$$S$ .

Из-за разницы определений одно и то же множество может быть порождающим в одном смысле, но не быть в другом. Например, для моноида неотрицательных целых чисел $({\mathbb{N}}_{\ge <!--\; \ge \; -->0},+)$$(\mathbb {N} _{\geq 0},+)$  порождающим множеством будет $S=\{1\}$$S=\{1\}$ , но для полугруппы $({\mathbb{N}}_{\ge <!--\; \ge \; -->0},+)$$(\mathbb {N} _{\geq 0},+)$  $S$$S$  уже не является порождающим множеством, так как 0 нельзя представить в виде суммы единиц. Аналогично, для $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$  как группы $\{1\}$$\{1\}$  является порождающим множеством, а для моноида — нет, так как в определении порождающего множества для моноида не включено взятие обратных.

ЛитератураПравить

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
• Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967. — 648 с.
• Введение в алгебру часть 1 Основы алгебры 149 с.