Действие группы

Действие группы на некотором множестве — это гомоморфное сопоставление каждому элементу группы некоторого преобразования этого множества. В случае, когда множество наделено некоторой дополнительной структурой, предполагается, что преобразования сохраняют эту структуру. Действия групп позволяют изучать симметрии математических объектов с помощью аппарата теории групп.

Циклическая группа порядка три действует на множестве вершин равностороннего треугольника поворотами вокруг его центра на углы, кратные 120°, циклически переставляя их.

Если группа действует на некотором объекте или структуре, она обычно действует и на связанных с ними объектах. Так, группа движений евклидова пространства действует как на этом пространстве, так и на фигурах, изображенных в нём. Например, она действует на множестве всех треугольников. Кроме того, группа симметрий некоторого многогранника действует на множествах его вершин, рёбер и граней.

В случае действий на топологических пространствах все отображения предполагаются гомеоморфизмами. Такие действия часто называются непрерывными.

Действия групп на векторных пространствах называются их линейными представлениями. В случае конечномерных векторных пространств они позволяют отождествить многие группы с подгруппами полной линейной группы ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(K)$${\rm {GL}}_{n}(K)$, то есть группы обратимых матриц размера $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ над некоторым полем $K$$K$.

ОпределенияПравить

Действие слеваПравить

Говорят, что группа $G$$G$  действует слева на множестве $M$$M$ , если задан гомоморфизм $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}:<!--\; :\; -->G\to <!--\; \to \; -->S(M)$$\Phi \colon G\to S(M)$  из группы $G$$G$  в симметрическую группу $S(M)$$S(M)$  множества $M$$M$ . Для краткости $(\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(g))(m)$$(\Phi (g))(m)$  часто записывают как $g(m)$$g(m)$ , $g\cdot <!--\; \cdot \; -->m$$g\cdot m$ , $g.m$$g{.}m$  или $gm$$gm$ . Элементы группы $G$$G$  называются в этом случае преобразованиями, а сама группа $G$$G$  — группой преобразований множества $M$$M$ . Тот факт, что сопоставление $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  является гомоморфизмом, означает то, что произведению элементов в группе соответствует композиция преобразований, а нейтральному элементу группы соответствует тождественное преобразование.

Другими словами, группа $(G,\ast <!--\; \ast \; -->)$$(G,\ast )$  действует слева на множестве $M$$M$ , если задано такое отображение $G\times <!--\; \times \; -->M\to <!--\; \to \; -->M$$G\times M\to M$ , при котором образ пары $(g,m)$$(g,m)$  обозначается $g(m)$$g(m)$ , что:

1. $(g\ast <!--\; \ast \; -->h)(m)=g(h(m))$$(g\ast h)(m)=g(h(m))$  для всех $g,h\in <!--\; \in \; -->G$$g,h\in G$  и $m\in <!--\; \in \; -->M$$m\in M$ ;
2. $e(m)=m$$e(m)=m$ , где $e$$e$  — нейтральный элемент группы $G$$G$ .

Действие справаПравить

Аналогично, правое действие группы $G$$G$  на $M$$M$  задаётся таким отображением $M\times <!--\; \times \; -->G\to <!--\; \to \; -->M$$M\times G\to M$ , при котором образ пары $(m,g)$$(m,g)$  обозначается $(m)g$$(m)g$ , что:

1. $(m)(g\ast <!--\; \ast \; -->h)=((m)g)h$$(m)(g\ast h)=((m)g)h$ ;
2. $(m)e=m$$(m)e=m$ .

Другими словами, правое действие группы $G$$G$  на $M$$M$  задаётся гомоморфизмом $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}:G^{op}\to <!--\; \to \; -->S(M)$$\rho :G^{op}\to S(M)$ , где $G^{op}$$G^{{op}}$  — инверсная группа группы $G$$G$ . Или, что то же самое, левым действием группы $G^{op}$$G^{{op}}$  на $M$$M$ .

Разница между левыми и правыми действиями состоит в порядке, в котором произведение $gh$$gh$  действует на данном элементе. В левом действии сначала действует $h$$h$ , затем $g$$g$ . А в правом действии сначала действует $g$$g$ , затем $h$$h$ .

Благодаря формуле $(gh{)}^{-<!--\; -\; -->1}=h^{-<!--\; -\; -->1}{g}^{-<!--\; -\; -->1}$$(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}$ , отображение $g\mapsto <!--\; \mapsto \; -->g^{-<!--\; -\; -->1}$$g\mapsto g^{-1}$  осуществляет изоморфизм между инверсной группой и исходной, который позволяет, путём взятия композиции с ним, построить взаимно однозначное соответствие между левыми и правыми действиями группы.

Таким образом, для установления общих свойств действий групп достаточно рассматривать только левые действия.

Типы действийПравить

• Свободное, если для любых различных $g,h\in <!--\; \in \; -->G$$g,\;h\in G$  и любого $m\in <!--\; \in \; -->M$$m\in M$  выполняется $gm\ne <!--\; \ne \; -->hm$$gm\neq hm$ .
• Транзитивное, если для любых $m,n\in <!--\; \in \; -->M$$m,\;n\in M$  существует $g\in <!--\; \in \; -->G$$g\in G$  такой, что $gm=n$$gm=n$ . Другими словами, действие транзитивно, если $Gm=M$$Gm=M$  для любого элемента $m\in <!--\; \in \; -->M$$m\in M$ .
  • Примитивное действие транзитивно и не сохраняет нетривиальных подможеств $M$$M$ .
• Эффективное, если для любых двух элементов $g\ne <!--\; \ne \; -->h$$g\neq h$  в $G$$G$  существует $m\in <!--\; \in \; -->M$$m\in M$  такой, что $gm\ne <!--\; \ne \; -->hm$$gm\neq hm$ .
• Вполне разрывное, если для любого компактного множества $K$$K$  множество всех $g\in <!--\; \in \; -->G$$g\in G$ , для которых пересечение $K\cap <!--\; \cap \; -->gK$$K\cap gK$  непусто, конечно.

На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделённых соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли. Действие $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}:G\to <!--\; \to \; -->\mathrm{X}$$\rho :G\to \mathrm {X}$  топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным, если оно непрерывно как отображение между топологическими пространствами. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.

• Непрерывное действие группы на пространстве жёстко (или квазианалитично), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом подмножестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
  • Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.
• Непрерывное действие группы называется кокомпактным, если факторпространство по этому действию компактен.

ОрбитыПравить

Подмножество

$Gm=\{gm\mid <!--\; \mid \; -->g\in <!--\; \in \; -->G\}\subset <!--\; \subset \; -->M$$Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M$ 

называется орбитой элемента $m\in <!--\; \in \; -->M$$m\in M$  (иногда обозначается как $\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{b}(m)$$\mathrm {Orb} (m)$ ).

Действие группы $G$$G$  на множестве $M$$M$  определяет на нём отношение эквивалентности

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n,m\in <!--\; \in \; -->M(n{\sim <!--\; \sim \; -->}_{{}_G}m)⟺<!--\; ⟺\; -->(\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}g\in <!--\; \in \; -->G:gn=m)⟺<!--\; ⟺\; -->(Gn=Gm).$$\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim _{_{G}}\,m)\Longleftrightarrow (\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow (Gn=Gm).$ 

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому если общее число классов эквивалентности равно $k$$k$ , то

$M=G{m}_1\bigsqcup <!--\; \bigsqcup \; -->G{m}_2\bigsqcup <!--\; \bigsqcup \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\bigsqcup <!--\; \bigsqcup \; -->G{m}_k,$$M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k},$ 

где $m_1,m_2,\dots <!--\; \dots \; -->,m_k\in <!--\; \in \; -->M$$m_{1},\;m_{2},\;\ldots ,\;m_{k}\in M$  попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия $k=1$$k=1$ .

СтабилизаторыПравить

Подмножество

$G_m=\{g\in <!--\; \in \; -->G\mid <!--\; \mid \; -->gm=m\}\subset <!--\; \subset \; -->G$$G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G$ 

является подгруппой группы $G$$G$  и называется стабилизатором, или стационарной подгруппой элемента $m\in <!--\; \in \; -->M$$m\in M$  (иногда обозначается как $\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(m)$$\mathrm {Stab} (m)$ ).

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если $n{\sim <!--\; \sim \; -->}_{{}_G}m$$n\,\sim _{_{G}}\,m$ , то найдется такой элемент $g\in <!--\; \in \; -->G$$g\in G$ , что

$G_m=g{G}_n{g}^{-<!--\; -\; -->1}.$$G_{m}=gG_{n}g^{-1}.$ 

Количество элементов в орбитеПравить

$|Gm|=[G:G_m]$$|Gm|=[G:G_{m}]$ , $G_m$$G_{m}$  — стабилизатор элемента $m$$m$  и $[G:G_m]$$[G:G_{m}]$  — индекс подгруппы $G_m\subset <!--\; \subset \; -->G$$G_{m}\subset G$ , в случае конечных групп равен $\frac{|G|}{|G_m|}$${\frac {|G|}{|G_{m}|}}$ .

Размерность орбиты можно вычислить так:

$\dim <!--\; \; -->|Gm|=\dim <!--\; \; -->|G|-<!--\; -\; -->\dim <!--\; \; -->|G_m|$$\dim |Gm|=\dim |G|-\dim |G_{m}|$ , где

$\dim <!--\; \; -->|Gm|$$\dim |Gm|$  размерность отдельной орбиты,

$\dim <!--\; \; -->|G_m|$$\dim |G_{m}|$  размерность стабилизатора, $\dim <!--\; \; -->|G|$$\dim |G|$  размерность группы Ли.

Если $M=G{m}_1\bigsqcup <!--\; \bigsqcup \; -->G{m}_2\bigsqcup <!--\; \bigsqcup \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\bigsqcup <!--\; \bigsqcup \; -->G{m}_k$$M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}$ , то

$|M|=\underset{t=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}[G:G_{m_t}]$$|M|=\sum _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]$  — формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества:

1. $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}m\in <!--\; \in \; -->M\underset{n\in <!--\; \in \; -->Gm}{\sum <!--\; \sum \; -->}|G_n|=|G|;$$\forall m\in M\;\sum _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;$ 
2. $\underset{m\in <!--\; \in \; -->M}{\sum <!--\; \sum \; -->}|G_m|=k|G|;$$\sum _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;$ 
3. лемму Бёрнсайда.

Примеры действийПравить

Действия на себеПравить

СлеваПравить

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия. В этом случае $M=G$$M=G$ , и гомоморфизм $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}:G\to <!--\; \to \; -->S(G)$$\Phi :G\to S(G)$  задан как $(\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(g))(h)=gh$$(\Phi (g))(h)=gh$ .

СправаПравить

Аналогично определяется действие на себе справа: $(\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(g))(h)=h{g}^{-<!--\; -\; -->1}$$(\Phi (g))(h)=hg^{-1}$ .

Слева и справаПравить

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения $G\times <!--\; \times \; -->G$$G\times G$  на $M=G$$M=G$  с гомоморфизмом $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}:G\times <!--\; \times \; -->G\to <!--\; \to \; -->S(G)$$\Phi :G\times G\to S(G)$ , заданным как $(\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(g_1,g_2))(h)=g_{1}h{g}_2^{-<!--\; -\; -->1}$$(\Phi (g_{1},\;g_{2}))(h)=g_{1}hg_{2}^{-1}$ .

СопряжениямиПравить

Пусть $M=G$$M=G$ , и гомоморфизм $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}:G\to <!--\; \to \; -->S(G)$$\Phi :G\to S(G)$  задан как $(\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(g))(h)=gh{g}^{-<!--\; -\; -->1}$$(\Phi (g))(h)=ghg^{-1}$ . При этом для каждого элемента $h\in <!--\; \in \; -->G$$h\in G$  стабилизатор $G_h$$G_{h}$  совпадает с централизатором $C(h)$$C(h)$ :

$G_h=\{g\in <!--\; \in \; -->G\mid <!--\; \mid \; -->gh{g}^{-<!--\; -\; -->1}=h\}=\{g\in <!--\; \in \; -->G\mid <!--\; \mid \; -->gh=hg\}=C(h).$$G_{h}=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).$ 

Например, для элемента $h$$h$  из центра группы $G$$G$  (то есть $h\in <!--\; \in \; -->Z(G)$$h\in Z(G)$ ) имеем $C(h)=G$$C(h)=G$  и $G_h=G$$G_{h}=G$ .

Вариации и обобщенияПравить

• Псевдогруппа преобразований

См. такжеПравить

• Представление группы

ЛитератураПравить

• Винберг, Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-0607..
• Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6..