Псевдогруппа преобразований

Псевдогруппа преобразований гладкого многообразия $M$$M$ — семейство диффеоморфизмов открытых подмножеств многообразия $M$$M$ в $M$$M$, замкнутое относительно композиции отображений, перехода к обратному отображению, а также сужения и склейки отображений.

Точное определениеПравить

Псевдогруппа преобразований $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  многообразия $M$$M$  состоит из локальных преобразований, то есть пар вида $p=(D_p,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p})$$p=(D_{p},{\bar {p}})$ , где $D_p$$D_{p}$  — открытое подмножество в $M$$M$ , а $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p}$${\bar p}$  — диффеоморфизм $D_p\to <!--\; \to \; -->M$$D_{p}\to M$ , причём предполагается, что

1. $p,q\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->p\circ <!--\; \circ \; -->q=({\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{q}}^{-<!--\; -\; -->1}(D_p\cap <!--\; \cap \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{q}(D_q)),\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p}\circ <!--\; \circ \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{q})\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$p,q\in \Gamma \Rightarrow p\circ q=({\bar {q}}^{-1}(D_{p}\cap {\bar {q}}(D_{q})),{\bar {p}}\circ {\bar {q}})\in \Gamma$ 
2. $p\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->p^{-<!--\; -\; -->1}=(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p}(D_p),{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p}}^{-<!--\; -\; -->1})\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$p\in \Gamma \Rightarrow p^{-1}=({\bar {p}}(D_{p}),{\bar {p}}^{-1})\in \Gamma$ 
3. $(M,id)\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$(M,id)\in \Gamma$ ,
4. если $p$$p$  — диффеоморфизм открытого подмножества $D$$D$  в $M$$M$  и $D={\cup <!--\; \cup \; -->}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{D}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$D=\cup _{\alpha }D_{\alpha }$ , где $D_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$D_{\alpha }$  — открытые подмножества в $M$$M$ , то $(D,p)\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}⟺<!--\; ⟺\; -->(D_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},p)\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$(D,p)\in \Gamma \Longleftrightarrow (D_{\alpha },p)\in \Gamma$  для любого $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ .

ПримерыПравить

• Произвольное гладкое действие группы на многообразии.
• Пусть $M$$M$  гладкое многообразие и на котором гладко действует группа $G$$G$  тогда «сужение» действия на произвольное открытое множество $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  является псевдогруппой преобразований. Точнее $p=(D_p,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p})$$p=(D_{p},{\bar {p}})$  содержится в псевдогруппе если $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p}\in <!--\; \in \; -->G$${\bar {p}}\in G$  и $D_p,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p}(D_p)\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$D_{p},{\bar {p}}(D_{p})\subset \Omega$ .

Связанные определенияПравить

Так же, как группа преобразований, псевдогруппа преобразований определяет на $M$$M$  отношение эквивалентности; классы эквивалентности называются её орбитами.

Типы псевдогруппПравить

Псевдогруппа преобразований $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  многообразия $M$$M$  называется

• транзитивной, если $M$$M$  — её единственная орбита,
• примитивной, если в $M$$M$  нет нетривиальных гладких $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ -инвариантных слоений (в противном случае псевдогруппа преобразований называется импримитивной).

Вариации и обобщенияПравить

Видоизменяя должным образом это определение, можно определить псевдогруппу преобразований произвольного топологического пространства или даже произвольного множества.

ЛитератураПравить

• Виноградов И.М. (ред.) — Математическая энциклопедия. Том 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1977 — с. 730-732.