Обсуждение:Сложение

ВозмущениеПравить

Igorivanov 11:51, 21 Июл 2004 (UTC) Ребята, зачем же вы "сложение" так урезали до "сложения действительных чисел"? Я понимаю, что в жизни сложение в основном это сложение действительных чисел, но вы грубо нарушаете структуру математики. В математике сложение — это определнная на некотором множестве довольно абстрактная бинарная операция с некоторыми свойствами. Сложени действительных чисел — это наичастнейший случай. А сейчас описано так, словно это самый главный тип операции, и лишь в конце перечислено, что его-де можно обобщить и на другие объекты. Звучит это — с точки зрения современной математики — так эе противоестественно, как и например такое определение "Энергия тела — это сумма mgh+mv2/2".

В общем, за неимением профессиональных математиков, я предлагаю подходить к написанию математических статей с той же степенью аккуратности, как мы подходим сейчас к физике.

Знак минусаПравить

На исторической иллюстрации знаки минуса двойные. Про это что-то известно? Как долго они двойными оставались, и почему изначально двойными оказались? --Nashev 13:12, 9 апреля 2013 (UTC)Ответить[ответить]

Перевод Addition 2015Править

Sergey Popov PetrSU, начал читать перевод статьи. Получаю искреннее удовольствие от Вашей работы. Сколько успею страниц проверить в распечатке - всё передам в четверг. А здесь напишу то, что можно уже кратко сформулировать:

• В разделе "Notation and terminology" не переведено 4 абзаца со слов "The numbers or the objects to be added...", включая один рисунок. Понимаю, что сложно, но попытайтесь. Коллеги-лингвисты Вас поправят и, даст бог, добавят этимологию для русского слова "сложение". -- Andrew Krizhanovsky 04:43, 13 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]
• также в этом разделе "1 Формы записи и терминология" идёт определение "Слагаемые — это ...". Сергей, думаю, что отсылка в определении к Департаменту армии США не удачна, нужна ссылка на толковый словарь, лучше - математический. -- Andrew Krizhanovsky 05:43, 31 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Сложение: помощь детям в изучении математикиПравить

Исходная ссылка в enwiki (National Research Council (2001). Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. National Academy Press. ISBN 0-309-06995-5.) содержит две ссылки:

1. на статью: w:en:National Research Council (United States)
2. и на книгу: http://www.nap.edu/read/9822/chapter/1

Результат (Килпатрик Д. Сложение: помощь детям в изучении математики = Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. — National Academy Press, 2001. — 454 с. — ISBN 0-309-06995-5.) стал более полным, но:

• Содержит имя автора только по-русски,
• утрачены обе ссылки (на издательство и на книгу).

Буду признателен, если Вы проверите остальные библиографические ссылки, чтобы не потерялись URL на книги и статьи онлайн. -- Andrew Krizhanovsky 05:07, 13 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Таблица сложенияПравить

Sergey Popov PetrSU, куда потерялся самый важный элемент статьи, то бишь таблица из раздела "4.2.1 Addition table"?

Без этой таблицы Ваш раздел "4.2.1 Таблица сложения" выглядит довольно странно - слишком короткий.

P.S. Вижу, что замечание по Килпатрику (выше), Вы ещё не одолели. -- Andrew Krizhanovsky 04:09, 24 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Sergey Popov PetrSU, по поводу оформления таблицы сложения, я советую глянуть учебник: Википедия:Оформление таблиц. -- Andrew Krizhanovsky 15:16, 25 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Иллюстрация плюсов и минусовПравить

Чудная иллюстрация есть в статье "Сложение" у немцев: commons:File:AdditionRules-2.svg. Сергей, подумайте, пожалуйста, в какой раздел добавить эту иллюстрацию, какая у неё должна быть подпись, каким текстом сопроводить. Опосля, добавьте, пожалуйста, описание на русском на Викискладе к этой картинке.

P.S. Сергей, когда настанет время Ч и Вы спросите меня - Остались ли у меня замечания по статье? - мне будет проще ответить, если после каждого моего вопроса или предложения к Вам на этой странице Вы будете писать: "сделано. Подпись" или "не сделано по такой-то причине. Подпись". Это позволит сразу, не откладывая, решать вопросы. Спасибо! -- Andrew Krizhanovsky 20:58, 2 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Сделано. Если у Вас есть больше замечаний по статье, то можете написать их все сразу, каждое из них я рассмотрю. -- Sergey Popov PetrSU 18:57, 3 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Сергей, я бы рад сразу все замечания написать, но они у меня появляются постепенно, по мере чтения... -- Andrew Krizhanovsky 09:15, 5 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Поршень и давлениеПравить

Раздел "4.5 Компьютеры". Фраза из англовики: "A hydraulic adder can add the pressures in two chambers by exploiting Newton's second law to balance forces on an assembly of pistons."

Предлагаемый перевод: "Гидравлический сумматор может складывать давления в двух камерах, используя второй закон Ньютона, чтобы уравновесить силы на сборку поршней." (Курсив мой).

Конец фразы не понятен. Сергей, можете прояснить и переформулировать? Мне кажется, что идёт речь, например, о ДВС, но только в ДВС поршни раздельны, а здесь речь о том, что ёмкости сообщающиеся и поэтому давление складывается. -- Andrew Krizhanovsky 12:55, 3 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Я думал, тут просто имеется в виду, что на поршень воздействуют силы и этот сумматор их балансирует. Но я не физик и не механик, поэтому, не скажу что понимаю устройство гидравлического сумматора. Не думаю, что смогу перевести это предложение более понятно. -- Sergey Popov PetrSU 19:13, 3 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Перенос, carry & tradeПравить

Примечания у них и у нас:

• 33. The word "carry" may be inappropriate for education; Van de Walle (p.211) calls it "obsolete and conceptually misleading", preferring the word "trade".
• 24. Ван де Валле, 2015: «Слово «перенос» может быть неуместно для образования; оно концептуально устарело и вводит в заблуждение, вместо него лучше подходит слово «обмен»»

Сергей, мне кажется, что это примечание не имеет значения для преподавания математики на русском. Оно имеет смысл только для английской статьи. -- Andrew Krizhanovsky 09:22, 5 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Убрал это примечание. -- Sergey Popov PetrSU 09:48, 5 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Уточнение определенияПравить

В данной статье очень много путаницы, ненужного и откровенной белиберды, считаю правильным немного исправить данную статью , в силу своих знаний. Сумму путают с суммированием, сложение (операция) путают со сложным (многооперационным) сложением, простые действия путают с элементарными. Например к элементарным математическим операциям относятся инкрементирование и сдвиг, а вовсе не сложение и умножение. Давайте как-то это вместе обсудим и уточним. Zaur Ahmetov 09:39, 24 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Zaur Ahmetov, спасибо за Ваше внимание к статье. Мы с Сергеем (участник Sergey Popov PetrSU за декабрь-январь заканчиваем работу над переводом английской версии статьи w:Addition. На данный момент работа еще не доведена до логического конца. Буду признателен за конкретные замечания и советы на этой странице обсуждения. Не могу согласиться с удалением абзаца из перевода статьи и, во-вторых, поскольку работа ещё не закончена, откатываю Ваши изменения к вчерашней версии. Надеюсь на понимание и сотрудничество по улучшению этой статьи. С уважением, Andrew Krizhanovsky 05:46, 25 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Andrew Krizhanovsky, зачем к примеру расписывать Коммутативность и Ассоциативность, для этого есть специальные страницы. Ну а абзац о детской психологии восприятия математики - это совершенно не к месту. Не полно да и не верно вообще ваше определение сложения, собственно оно отсутствует как таковое. "Сложение — одна из простейших задач с числами" - чушь, что-бы сложить 2-а многозначных числа в 10-ной системе человеку на бумаге необходимо произвести достаточно много более простых вычислений по достаточно сложному алгоритму (частично ниже вами описанному) где используются операции выравнивания, сложения, переноса, сравнения, суммирования. Отмена редакций других людей и "узурпация" права на своё видение вопроса не лучшая политика на мой взгляд. Zaur Ahmetov 19:12, 25 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

1. Заур, доброе утро. Про узурпацию рекомендую глянуть эссе Википедия:Страшное место.
2. "...абзац о детской психологии восприятия математики..." О том, что из себя представляет преамбула статьи посмотрите, пожалуйста, здесь: Википедия:Преамбула. А если кратко, то так: если в статье есть целый раздел "4.2 Овладение сложением детьми", то неплохо бы в преамбуле дать коротенько описание этой темы.
3. Из Ваших правок, Заур, у меня появилось сомнение, что Вы знаете об одном из главных правил Википедии - использование ВП:АИ. Развейте мои сомнения, пожалуйста. Скажите, что Вы знаете это правило. -- Andrew Krizhanovsky 06:08, 26 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Andrew Krizhanovsky, Спасибо, что уделили внимание. Я так понял, что по существу замечаний возражений у вас нет? Да я недавно увлёкся этим проектом, может не все тонкости хорошо знаю, но интуитивно догадываюсь, а теперь пройдусь по выше указанным ссылкам и думаю буду лучше здесь ориентироваться. Но давайте меньше отвлекаться, лучше больше уделим внимание сути проблемы, вот именно пункты 4.1 и 4.2 лучше удалить полностью, как не имеющие отношения к вопросу. Так же в данном контексте не нужно расписывать вычитание, упорядочивание и другие. В значительной мере сократить весь параграф 3.x. И основное - необходимо сделать упор на понятие сложения, как бинарной математической операции и разграничить её с понятием сложения вообще, а особенно с суммированием. Хотя, как я понял вы просто переводите забугорную статью особо не вникая в суть. Zaur Ahmetov 19:20, 26 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

• Заур, доброе утро.
• "Ну а абзац о детской психологии восприятия математики - это совершенно не к месту. ...пункты 4.1 и 4.2 лучше удалить полностью, как не имеющие отношения к вопросу." Если Вы сможете аргументированно показать, доказать, что эти два пункта не имеют отношения к статье, то, само собой, мы их удалим.
• "Хотя, как я понял вы просто переводите забугорную статью особо не вникая в суть." Грубить в Википедии можно, но в границах, см. правило ВП:ЭП.
• "Да я недавно увлёкся этим проектом, может не все тонкости хорошо знаю, но интуитивно догадываюсь, а теперь пройдусь по выше указанным ссылкам и думаю буду лучше здесь ориентироваться." Это прекрасно, при таком Вашем подходе, я думаю, мы найдём с Вами общий язык.
• На самом деле нам с Сергеем нужен толковый человек, который не поленится внимательно пройтись по всей статье и написать конструктивные замечания по тексту. В ближайшее время Sergey Popov PetrSU выставит статью на рецензирование (см. Википедия:Рецензирование), чтобы привлечь других редакторов к работе над статьёй и получить их отзывы, чтобы переписать и улучшить статью. Но это, конечно, формальность. Можно уже и сейчас писать на этой странице обсуждения, что плохо и что нужно исправить. Другое дело, что вот такие замечания "В данной статье очень много путаницы, ненужного и откровенной белиберды..." учтены не будут, поскольку ничего конкретного не говорят, а всего лишь указывают на Вашу негативную оценку текста. Вот такие замечания: "Например к элементарным математическим операциям относятся инкрементирование и сдвиг, а вовсе не сложение и умножение." учтены могут быть, но только после того, как Вы дадите ссылки на конкретные АИ (см. ВП:АИ), которые буквально подтверждают Ваши слова (желательно с указанием конкретной страницы в книге). Если Вас покоробит такое формальное отношение к вопросу, то я могу кивать только на правила Википедии, которым я следую.-- Andrew Krizhanovsky 06:13, 27 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Andrew Krizhanovsky, Ни в коей мере нет желания кого-либо оскорбить, я за конструктивный диалог. Но то, что сейчас в статье определено для сложения удручает и разочаровывает. Основные проблемы мною изложены, в этих заметках трудно более детально строить диалог. Думаю на основе вашей статьи создать свою, более правильную ИМХО, надеюсь вы не будете возражать против использования части вашего текста? И тогда будет гораздо проще сравнить и выбрать лучшую. Как вам такая идея? Zaur Ahmetov 18:59, 28 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

• Такой вариант честной борьбы меня устраивает. Хотя вариант, когда редакторы работают над одним текстом, пишут замечания к одному тексту, является более конструктивным... поскольку иначе чей-либо труд будет потрачен впустую. Другой возможный недостаток при таком соревновании - это разочарование авторов, хлопанье дверьми и уход из проекта. Надеюсь, нам это не грозит.
• По правилам лицензирования текстов в Википедии Вы имеете полное право использовать данный текст без уведомления авторов. -- Andrew Krizhanovsky 16:21, 29 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Andrew Krizhanovsky, мне не хотелось-бы, что-бы это выглядело какой-то борьбой или соревнованием. Победить должна истина, а не кто-то из нас. Но совместное редактирование я как-то себе не очень представляю, начнутся бесконечные споры и не понимания. Лучше буду делать куски текста, по параграфам например, если сочтете их лучше - берите в свою статью, если нет - буду свою делать на основе вашей. Но поскольку опыта у меня маловато, будет наверное долго. Zaur Ahmetov 20:46, 29 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Примерная преамбулаПравить

 

В учебниках часто объясняют сложение с помощью яблок и равенства 3 + 2 = 5

Сложе́ние (приба́вление) — одна из основных бинарных математических операций (арифметических действий) двух аргументов (слагаемых), результатом которой является новое число (сумма), получаемое увеличением значения первого аргумента на значение второго аргумента. На письме обычно обозначается с помощью знака «плюс»: $a+b=c$$a+b=c$ .
В общем виде можно записать: $S(a,b)=c$$S(a,b)=c$ , где $a\in <!--\; \in \; -->A$$a\in A$  и $b\in <!--\; \in \; -->A$$b\in A$ . То есть каждой паре элементов $(a,b)$$(a,b)$  из множества $A$$A$  ставится в соответствие элемент $c=a+b$$c=a+b$ , называемый суммой $a$$a$  и $b$$b$ .
Сложение возможно только, если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов (имеют одинаковый тип).

На множестве действительных чисел область значений функции сложения графически имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов.

У сложения есть несколько важных свойств (например для $A=$$A=$ $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ ):

Коммутативность: $a+b=b+a,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a,b\in <!--\; \in \; -->A.$$a+b=b+a,\quad \forall a,b\in \ A.$ 

Ассоциативность (см. Сумма): $(a+b)+c=a+(b+c),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a,b,c\in <!--\; \in \; -->A.$$(a+b)+c=a+(b+c),\quad \forall a,b,c\in \ A.$ 

Дистрибутивность: $x\cdot <!--\; \cdot \; -->(a+b)=(x\cdot <!--\; \cdot \; -->a)+(x\cdot <!--\; \cdot \; -->b),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a,b\in <!--\; \in \; -->A.$$x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.$ 

Прибавление $0$$0$  (нулевого элемента) даёт число равное исходному: $x+0=0+x=x,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->A,\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}0\in <!--\; \in \; -->A.$$x+0=0+x=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.$ 

В качестве примера, на картинке справа запись $3+2$$3+2$  обозначает три яблока и два яблока вместе, что в сумме дает пять яблок. Заметим, что нельзя сложить например 3 яблока и 2 груши. Таким образом, $3+2=5$$3+2=5$ . Помимо счета яблок, сложение также может представлять объединение других физических и абстрактных величин, таких как: отрицательные числа, дробные числа, векторы, функции, и другие.

Известны различные устройства для сложения: от древних абаков до современных компьютеров, задача реализации наиболее эффективного сложения для последних является актуальной по сей день. Zaur Ahmetov 07:54, 30 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Уточнения к преамбулеПравить

Хотя преамбула идёт вначале статьи, окончательный вариант пишут, когда статья уже готова. Поскольку преамбула - это короткий пересказ всей статьи. А Ваша версия статьи, Заур, как я понял, может весьма отличаться от текущей...

В целом введение очень хорошее. Пара вопросов-замечаний:

• ...результатом которой является новое число... Если добавляем ноль, то получаем старое число.

--- получаем новое число равное исходному.

• В общем виде можно записать: ... Наверное, лучше дать общий вид перед самой фразой: У сложения есть несколько важных свойств, поскольку только там начинают использоваться обозначения a, b, c.

--- можно попробовать.

• Сложение возможно только, если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов (имеют одинаковый тип). Не противоречит ли это случаю, когда мы складываем натуральные и вещественные числа?

--- в данном случае производится неявное приведение типа (расширение множества с меньшей мощностью в сторону множества с большей мощностью).

• На множестве действительных чисел область значений функции сложения графически имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов. А реально к этой фразе добавить поясняющую иллюстрацию?

--- нарисуем.

Когда (как говорят депутаты :) "порешаем эти вопросы", у меня есть желание интегрировать Вашу преамбулу в текущую... -- Andrew Krizhanovsky 14:24, 30 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Заур, стоит ли добавить в определение ещё один синоним: "суммирование"? Вот так: "Сложе́ние (прибавление, суммирование) - ..."? -- Andrew Krizhanovsky 05:52, 31 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

--- ни в коем случае, суммирование это многократное повторение сложения с получением на каждом шаге промежуточного результата, либо вычисление по иному алгоритму сводящимуся в итоге к сложению, умножению и пр. То есть это не является бинарной операцией.

• Заур, а Вы могли бы указать какую-либо книгу или статью на русском, где приводятся определения и различаются термины "сложение" и "суммирование"? -- Andrew Krizhanovsky 12:42, 31 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

--- в данный момент вряд-ли, попробую поискать.

• Ещё по поводу ассоциативности. Мне более знакома такая форма закона: : $(a+b)+c=a+(b+c)$$(a+b)+c=a+(b+c)$ . Существенно ли (в Вашем примере выше) менять местами слагаемые? Может, достаточно поменять только скобки? -- Andrew Krizhanovsky 15:32, 31 декабря 2015 (UTC)Ответить[ответить]

--- да, спасибо поправил.

Выполнение сложенияПравить

Операцию сложения можно представить, как некий "черный ящик" с двумя слагаемыми на входе и одним выходом - суммой:

 

При практическом решении задачи сложения двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: "простое сложение", перенос, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы сложения, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного сложения. При этом следует рассматривать сложение как процедуру (в отличие от операции).

Примерный алгоритм процедуры сложения

 

Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при сложении больших чисел может занять продолжительное время.

"Простое сложение" - в данном контексте обозначает операцию сложения одноразрядных чисел, которая может быть легко сведена к инкрементированию. Является гипероператором инкрементирования:

 

Пример пошагового сложения чисел 2 и 4 на числовой прямой.

$a+b=\mathrm{hyper1}<!--\; \; -->(a,b)=\mathrm{hyper}<!--\; \; -->(a,1,b)=a^{(1)}b.$$a+b=\operatorname {hyper1} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,1,b)=a^{(1)}b.$ 

$a{}^{(1)}b=a+b=\underset{a}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{1+1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+1}}+\underset{b}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{1+1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+1}}.$$a{^{(1)}}b=a+b=\underbrace {1+1+\dots +1} _{a}+\underbrace {1+1+\dots +1} _{b}.$ 

где $1+1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+1$$1+1+\dots +1$  - последовательность операций инкрементирования, выполненная $a$$a$  и $b$$b$  раз.

Чтобы упростить и ускорить процесс сложения используют табличный метод "простого сложения", для этого заранее вычисляют все комбинации сумм чисел от 0 до 9 и берут готовый результат из этой таблицы:

таблица для сложения

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Данная процедура применима к сложению натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Комментарии и предложенияПравить

В текущей версии статьи, мне кажется, такой подраздел можно отнести и добавить в раздел "4.3.1 Перенос". Согласны?

--- лучше вместо 4.1 и 4.2

Заур, у меня есть несколько вопросов и замечаний к тексту.

Замечания по тексту до диаграммы:

1. Для этого разработаны различные методы. Так и просится поставить ссылку (ссылки) на книгу, где изложены эти методы.
2. На множестве натуральных чисел в настоящее время основным алгоритмом является поразрядное сложение. Требуется доказательство того, что это основной алгоритм в виде ссылка на ВП:АИ. Если не найти такого утверждения в книгах, то нужно переформулировать предложение и уйти от слова "основной".
3. Для этого следует рассматривать сложение как процедуру. Какой смысл в этом предложении?

--- немного подправил.

--- немного подправил.

--- смысл в том, что изначально сложение определяется как операция (одно действие), а здесь сложение - набор действий (процедура)

Важные замечания по диаграмме:

1. Название диаграммы не нужно писать на самой диаграмме. Оно будет написано текстом над или под ней.
2. Кстати, почему у одной диаграммы два разных названия? (1) Примерный алгоритм сложения и (2) Алгоритм процедуры ...
3. Нужно определиться и сделать выбор: это алгоритм или процедура? Странно звучит: "алгоритм процедуры ...".
4. Вместо "установить фокус" я бы предложил что-то иное, например: "перейти к наименьшим разрядам чисел" и "перейти к следующим разрядам чисел (влево)"

--- "установить фокус", конечно точнее было-бы "установить указатель", но неподготовленному человеку будет непонятно, наверное.

--- собственно диаграмма дана для того, что-бы показать - сложение это не так просто, как кажется.

--- диаграмму подправил.

--- может быть программный код процедуры, может быть описание процедуры, а это - алгоритм процедуры, вполне нормальное

--- словосочетание например здесь https://techmill.ru/current/documentation/university/5D1055B1A13542CBAD4CEFD5ABC11076.html

Неважные замечания:

• в SVG, конечно, было бы симпатичнее, см. commons:File:Flowchart_-_BigSmall.ru.svg, не было бы этой размытости текста.

--- попробую, не силён в SVG, может поможете?

Текст после диаграммы:

1. простое сложение - прочитав эту фразу до диаграммы, я предположил, что имеется в виду сложение двух одноразрядных числе, тогда уместна "таблица для умножения" и можно ещё сослаться на таблицу в разделе статьи "4.2.1 Таблица сложения".

--- да, наверное так лучше. "таблица для умножения" - видимо опечатка?

1. "Простое сложение" - в данном контексте обозначает операцию сложения, которая может быть сведена к инкрементированию за приемлемое время... Плохо: (1) достаточно рзмытое и нечёткое определение из-за "приемлемого времени". Поскольку "какое время приемлемо" - понятие растяжимое. (2) Сведение к инкрементированию или выполнение собственно инкрементирования?

--- согласен, поправил, текст конечно пока сыроват, будем работать, спасибо за комментарии.

• Заур, я не силён в SVG, но знаю наверное, что будет здорово.
• На Викискладе есть целая категория с чёрными ящиками, я и Вашу иллюстрацию туда засандалил: commons:Category:Black boxes.
• И главное: пока что предлагаемый Вами раздел "Выполнение сложения" не содержит ни одной ссылки на литературу. Это делает невозможным проверку предлагаемой информации (см. правило ВП:ПРОВ) и другие редакторы Википедии могут заподозрить, что Вы пишите оригинальное исследование, что запрещено правилами (см. правило ВП:ОРИСС). Поэтому, если Вы хотите, чтобы этот раздел перекочевал с этой страницы обсуждения в саму статью, без похода в обычную библиотеку или в цифровую библиотеку не обойтись. -- Andrew Krizhanovsky 15:40, 5 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Andrew Krizhanovsky Да со ссылками на литературу сложновато, сложение изучают в 1-м классе, это вроде как-бы азбучные истины и указывать источник к сведениям, очевидно не вызывающим сомнений наверное ни к чему. Я пишу всего лишь оригинальное обобщение, не более. Ну или можно взять любой учебник арифметики начальной школы и сослаться на него. :-) Zaur Ahmetov 18:14, 6 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

• Заур, если Вы возьмёте учебник по арифметике, и в конце каждого своего утверждения (или хотя бы в конце каждого своего абзаца) поставите ссылку на конкретную страницу учебника, где подтверждаются Ваши слова, то такой вариант меня вполне устроит. Я серьёзно. Кстати, уверяю Вас, что это совсем не просто, несмотря на то, что тема кажется понятной школьнику. -- Andrew Krizhanovsky 12:48, 7 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Диаграмма и рисункиПравить

Andrew Krizhanovsky

• Вот вроде диаграмму осилил, переделал в svg, теперь получше смотрится? Позже может и другие рисунки переделаю.
• Да и подскажите, что из вышесказанного наиболее требует ссылки на литературу, какие-то конкретные утверждения или так, вообще. Хотя этот текст как-бы для вашей статьи (пока), так может вам и поискать литературу (для себя). Zaur Ahmetov 08:17, 10 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

• Да, в SVG намного лучше.
• Расставил в тексте запросы на АИ по Вашей просьбе.
• "Хотя этот текст как-бы для вашей статьи (пока), так может вам и поискать литературу (для себя)." Два ответа: (1) считается, что текст не принадлежит одному человеку, поэтому не могу согласиться, что это "моя статья". (2) Мне затруднительно найти литературу для подтверждения тех сведений, которые Вы где-то вычитали, сейчас вспомнили и добавили в статью... -- Andrew Krizhanovsky 08:46, 10 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

ОпределениеПравить

Сергей, определение из "Словаря русского языка в 4-х томах" для "Сложения" - это как-то несерьёзно. Пробежался по рутрекеру, нашёл три словаря:

• Прохоров Ю.В. (гл. ред.) - Математический энциклопедический словарь - 1988.djvu, с. 547 http://rutracker точка org/forum/viewtopic.php?t=5026577
• Микиша А.М., Орлов В.Б. - Толковый математический словарь - 1989.djvu, стр. 129, http://rutracker точка org/forum/viewtopic.php?t=4066894 - несерьёзное определение, опускаем.
• Диткин В.А., Мантуров О.В. и др. - Толковый словарь математических терминов - 1965.djvu, с. 416, http://rutracker точка org/forum/viewtopic.php?t=5111570
• Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь высшей школы.1984.djvu описаны разные "сложения", кроме того, что нам нужно.

Сергей, попробуйте написать определение по двум источникам (Прохоров, Диткин). Заодно посмотрите определение для "суммы" и напишите на основе этих источников - в чём разница.

Если есть желание, то можете посмотреть, что есть в библиотеке ПетрГУ... -- Andrew Krizhanovsky 10:56, 17 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Написал определение по словарю Прохова (у них с Диткиным определения почти идентичные). По-моему, из определения и так понятно, чем сложение отличается от суммы и не стоит по этому поводу чего-то еще расписывать. -- Sergey Popov PetrSU 13:49, 17 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Сергей, примечание номер 2 "↑ Математический энциклопедический словарь, 1988, с. 546" сейчас не работает.

И почему дальше идёт текст: "Прохоров Ю.В. Математический энциклопедический словарь. — Советская энциклопедия, 2001. — 847 с." В итоге - это энциклопедия или словарь? 1988 год или 2001 год? -- Andrew Krizhanovsky 07:29, 22 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

"Советская энциклопедия" - это издательство. Год исправил, теперь ссылка работает нормально. -- Sergey Popov PetrSU 08:11, 22 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Рецензирование статьи СложениеПравить

Здесь находятся завершившиеся обсуждения. Просьба не вносить изменений.

• Выполнен перевод статьи с английского языка -- Sergey Popov PetrSU 09:03, 18 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]
• Пригласил участников проекта Математика к рецензированию статьи "Сложение" и "Эмми Нётер": Обсуждение проекта:Математика#Сложение и Эмми Нётер от магистров ПетрГУ. -- Andrew Krizhanovsky 11:22, 18 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Сергей, два чудных рисунка потерялись из раздела w:Addition#Real numbers. Ничто не мешает Вам скопировать их на Викисклад, добавить подписи на русском и вставить в статью. При загрузке рисунка дайте ему то же имя, что было в англовики. Не забудьте на страницу рисунка в англовики поставить помету {{Now Commons}} для удаления дубликата. -- Andrew Krizhanovsky 13:08, 18 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

• Сделано. -- Sergey Popov PetrSU 13:41, 18 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

• Сергей,

1. Зачем же Вы так издеваетесь над иностранцами и даёте файлам названия кириллицей? Я выше писал "При загрузке рисунка дайте ему то же имя, что было в англовики".
2. Был чудный масштабируемый SVG формат (w:File:AdditionRealCauchy.svg), Вы его заменяете рисунком в ужасном PNG формате (commons:File:Фундаментальная последовательность.png).
3. Зачем же Вы присваиваете себе оба рисунка и пишете, что Вы автор на странице описания рисунка? Будьте внимательнее, пожалуста. -- Andrew Krizhanovsky 14:29, 18 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]
4. Повторюсь: после создания файла на Викискладе замените в статьях англовики упоминания старого файла на новый (раз уж Вы выбрали новое имя для файла), и выставьте старый файл в англовики на удаление. -- Andrew Krizhanovsky 14:29, 18 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

• Теперь сделал так, как Вы написали. -- Sergey Popov PetrSU 11:38, 19 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Трудности математического переводаПравить

Раздел "5.4 Real numbers" (5.4 Действительные числа)

Перевод: "Нужно доказать, что эта операция является строго определённой, вместе с последовательностью Коши."

Источник: "One must prove that this operation is well-defined, dealing with co-Cauchy sequences."

Замечания:

• "co-Cauchy sequences" - это не последовательность Коши, это что-то другое.
• не "вместе", а скорее "обращаясь" или "воспользовавшись" этой последовательностью не Коши.

P.S. Если бы я знал правильный перевод, я бы его написал. Поскольку не знаю, то прошу помощи у коллег. -- Andrew Krizhanovsky 14:45, 18 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

• Вот так мне кажется математически более правильно: "Надо доказать, что эта операция строго определена последовательностью Коши (является фундаментальной последовательностью)." Zaur Ahmetov 13:56, 21 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Думаю, что вариант Заура правильный. -- Andrew Krizhanovsky 07:32, 22 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Спасибо. Тогда, полагаю, я его внесу в статью. -- Sergey Popov PetrSU 08:16, 22 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Вещественные числаПравить

Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\pm <!--\; \pm \; -->a_0,a_1{a}_2\dots <!--\; \dots \; -->a_n\dots <!--\; \dots \; -->=\{a_n\}$$\alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\}$ , $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\pm <!--\; \pm \; -->b_0,b_1{b}_2\dots <!--\; \dots \; -->b_n\dots <!--\; \dots \; -->=\{b_n\}$$\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\}$ 

и определяемых фундаментальной последовательностью рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=[a_n]$$\alpha =[a_{n}]$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=[b_n]$$\beta =[b_{n}]$ , то их суммой называют число $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=[c_n]$$\gamma =[c_{n}]$ , определённое суммой последовательностей $\{a_n\}$$\{a_{n}\}$  и $\{b_n\}$$\{b_{n}\}$ :

$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\stackrel{\text{def}}{=}[a_n]+[b_n]=[a_n+b_n]$$\gamma =\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]+[b_{n}]=[a_{n}+b_{n}]$ ;

вещественное число $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\gamma =\alpha +\beta$ , удовлетворяет следующему условию:

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{a}^{\prime },a^{″},b^{\prime },b^{″}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Q}(a^{\prime }⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->a^{″})\wedge <!--\; \wedge \; -->(b^{\prime }⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->b^{″})\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(a^{\prime }+b^{\prime }⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->a^{″}+b^{″})\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(a^{\prime }+b^{\prime }⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->a^{″}+b^{″})$$\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \gamma \leqslant a''+b'')$ .

Таким образом суммой двух вещественных чисел  $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  является такое вещественное число $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  которое содержится между всеми суммами вида $a^{\prime }+b^{\prime }$$a'+b'$  с одной стороны и всеми суммами вида $a^{″}+b^{″}$$a''+b''$  с другой стороны.

На практике для того, чтобы сложить два числа $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами $a$$a$  и $b$$b$ . За приближенное значение суммы чисел $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha +\beta$  берут сумму указанных рациональных чисел $a+b$$a+b$ . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ . Сложение производится по алгоритму поразрядного сложения.

При сложении приближённых чисел их абсолютные погрешности скла­дываются $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(a+b)=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}a+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}b$$\Delta (a+b)=\Delta a+\Delta b$ , абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность суммы заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных по­грешностей слагаемых; на практике принимается наибольшее значение $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(a+b)=max(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}a,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}b)$$\delta (a+b)=max(\delta a,\delta b)$ . Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример сложения $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+e$$\gamma =\pi +e$ , с точностью до 3-го знака после запятой:

• Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
• Получаем: $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->3.1416,e\approx <!--\; \approx \; -->2.7183$$\pi \approx 3.1416,\quad e\approx 2.7183$  ;
• Поразрядно складывам: $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+e\approx <!--\; \approx \; -->3.1416+2.7183\approx <!--\; \approx \; -->5.8599$$\gamma =\pi +e\approx 3.1416+2.7183\approx 5.8599$  ;
• Округляем результат до 3-го знака после запятой: $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->5.860$$\gamma \approx 5.860$  .

--- Zaur Ahmetov 18:40, 27 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Заур, очень хорошо, только почему такая странная ссылка: "↑ Ильин В.А. и др., 1985, с. 46: «…»" Нет ни издательства, ни названия книги. См. {{book}}. -- Andrew Krizhanovsky 11:53, 21 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

Ещё толком не разобрался с литературой, вот данные - прикрутите их куда нужно. Zaur Ahmetov 13:03, 21 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

• Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс. (неопр.). — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.

Рациональные числаПравить

Для сложения рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: $\pm <!--\; \pm \; -->\frac{m}{n}$$\pm {\frac {m}{n}}$ , их следует преобразовать (привести) к общему (одинаковому) знаменателю. Например, взять произведение знаменателей, числители при этом умножаются на соответствующие знаменатели. Затем сложить полученные числители, а произведение знаменателей станет общим.

Если даны два рациональных числа $a$$a$  и $b$$b$  такие, что: $a=\frac{m_a}{n_a},b=\frac{m_b}{n_b}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{m}_a,n_a,m_b,n_b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{n}_a,n_b\ne <!--\; \ne \; -->0$$a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_{a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0$  (дроби не сокращаемые), тогда:

$c=a+b=\frac{m_a}{n_a}+\frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a\cdot <!--\; \cdot \; -->n_b}{n_a\cdot <!--\; \cdot \; -->n_b}+\frac{n_a\cdot <!--\; \cdot \; -->m_b}{n_a\cdot <!--\; \cdot \; -->n_b}=\frac{m_a\cdot <!--\; \cdot \; -->n_b+m_b\cdot <!--\; \cdot \; -->n_a}{n_a\cdot <!--\; \cdot \; -->n_b}.$$c=a+b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}+{\frac {n_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}.$ 

Либо можно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Порядок действий:

• Находим наименьшее общее кратное знаменателей: $M=[n_a,n_b]$$M=[n_{a},n_{b}]$ .
• Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на $\frac{M}{n_a}$${\frac {M}{n_{a}}}$ .
• Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на $\frac{M}{n_b}$${\frac {M}{n_{b}}}$ .

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны $M$$M$ ). В ряде простых случаев это упрощает вычисления, но в случае больших чисел расчёты значительно усложняются. Можно взять в качестве $M$$M$  любое другое общее кратное.

Пример сложения:

$\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{2\cdot <!--\; \cdot \; -->5}{3\cdot <!--\; \cdot \; -->5}+\frac{3\cdot <!--\; \cdot \; -->1}{3\cdot <!--\; \cdot \; -->5}=\frac{2\cdot <!--\; \cdot \; -->5+3\cdot <!--\; \cdot \; -->1}{3\cdot <!--\; \cdot \; -->5}=\frac{10+3}{15}=\frac{13}{15}.$${\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}+{\frac {3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5+3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10+3}{15}}={\frac {13}{15}}.$ 

Если знаменатели обеих дробей совпадают, то:

$\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{1+2}{4}=\frac{3}{4}.$${\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}.$ 

Если знаменатели кратны какому либо числу, то преобразуем только одну дробь:

$\frac{3}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}+\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->2}{4\cdot <!--\; \cdot \; -->2}=\frac{3+1\cdot <!--\; \cdot \; -->2}{8}=\frac{5}{8}.$${\frac {3}{8}}+{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}+{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2}}={\frac {3+1\cdot 2}{8}}={\frac {5}{8}}.$ 

• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы, книга для учащихся. (неопр.). — Просвещение, 1988. — 416 с.

--- Zaur Ahmetov 18:40, 27 января 2016 (UTC)Ответить[ответить]

УдалениеПравить

@Zaur Ahmetov: А почему у нас две статьи Сложение и Сложение (математика)? Можно одну из них удалить, или их надо объединять? Алексей Копылов 04:52, 24 мая 2016 (UTC)Ответить[ответить]

@Alexei Kopylov: у меня одна статья: Сложение (математика), вторая - Сложение малограмотный перевод с английского её конечно лучше удалить, но авторы Andrew Krizhanovsky и др. наверное будут сильно возражать. Zaur Ahmetov

@Alexei Kopylov:, Вы совершенно правы, две статьи на одну тему не могут существовать в Википедии. Приглашаю к обсуждению Сложение (математика). -- Andrew Krizhanovsky (обс) 11:32, 25 августа 2016 (UTC)Ответить[ответить]

@Alexei Kopylov:, посмотрел Ваши последние правки. Замечания верные. Согласен с тем, чтобы удалить спорные и неясные моменты, если никто больше не выскажется... -- Andrew Krizhanovsky (обс) 12:55, 18 сентября 2016 (UTC)Ответить[ответить]

СноскаПравить

Слова в точности взяты из дипломной работы «Дидактическая игра как средство активизации познавательной деятельности на уроках математики в 1 классе», выложенной на allbest. В конце там список литературы. Из этого списка необходимо определить АИ заявления. — Павло Сарт (обсуждение, вклад) 08:59, 15 июня 2021 (UTC)Ответить[ответить]

Библиография

1. Агаркова Т.Ф. Игра – как средство обучения учащихся шестилетнего возраста. // Начальная школа. – 2008г. -№5.
2. Аникеева Н.П. Воспитание игрой. М., Педагогика. 1987г.
3. Аникеева Н.П.Игра в педагогическом процессе. М., Педагогика. 1895г.
4. Аникеева Н.П. Педагогика психология игры. – Новосибирск. 2005г.
5. Архипова Ф.А. Игра в учебной деятельности младших школьников. // Начальная школа. – 2007 г.№4.
6. Алабина Р. Игра – веление времени.// Начальная школа. 2008 г. №3
7. Ашеев М.А. Занимательный калейдоскоп. Махачкала. 1983г.
8. Айзман Р.И. , Жарова Г.И. Подготовка ребенка к школе. М., 1991г.
9. Бордочева А.Я. Дидактическая игра на уроках. // Начальная школа. 1988 г.№8
10. Бантова М.А. Методика преподавания математики в начальных классах М., Просвещение. 1985 г.
11. Белокобыльская Т.П. Методика копилка.// Начальная школа. 2008 г. №8
12. Бакалдин В. Начинаем считать. – Краснодар. 1983г.
13. Бабкина Н.А. Использование дидактических игр и упражнений в учебном процессе.// Начальная школа. 2007 г. №4.
14. Бабкина Л.С. Рифмование строки и алгоритмы. // Начальная школа. 1996 г. №5.
15. Беспалько В.П. Слагаемое педагогических технологий. М., 1989г.
16. Блехер Ф.К. Дидактические игры и упражнения и занимательные упражнения в 1-м классе. М., 1964г.
17. Будникова Е.С. Игра помогает активно работать.// Начальная школа. 2005 г. №2
18. Волкова С.И. Столярова Н.Н. Развитие познавательных способностей детей на уроках математики в 1-м классе. М., 1994г.
19. Волина В.В. Учимся играя. М., 2005г.
20. Выготский Л.С. Детская психология.// Собр. Соч. М., 1984 Т.4.
21. Герасимова М.А. А я делаю так … // Начальная школа. 1994 г. №8
22. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. М., 1986г.
23. Есырева Л.А. Учить играя. // Начальная школа. 2008 г. № 10.
24. Жигалкина Т.К. Игровые и занимательные задания по математике для 1 класса. М., Просвещение. 1989г.
25. Житомирская В. Математическая азбука. М., 2008г.
26. Захарова С.И. Математику учим в игре. // Начальная школа. 2009 г.№8.
27. Кутеев Е.А. Игра – как средство формирования воспитания.// Начальная школа. 1990г. №11.
28. Кончаловская Н. Сосчитай-ка. М., 1994г.
29. Ковалев В.И. Космическое путешествие. // Начальная школа. 2006 г. №8.
30. Лупарева Т.Г. Игра – путешествие. // Начальная школа. 1991г. №6.
31. Лоповок Л.М. Математика на досуге. М., Просвещение. 1981г.
32. Леман И. 2 + 2 = шутка. Минск, 1985г.
33. Лицман В. Веселое и занимательное о числах и фигурах. М., 2003г.
34. Мазаник А. Реши сам. Минск. 1999г.
35. Минскин Е. Отигры к знаниям. М., 1987г.
36. Мартынова О.А. Из опыта работы по системе УДЕ.// Начальная школа. 1993. №4.
37. Минскин Е.М. Играй, отгадывай, считай. // Начальная школа. 1986г.
38. Мовшович. А.Г. 1, 2, 3, 4, 5. // Начальная школа. 2007г. №6.
39. Михайлова З. Игровые занимательные задачи для младших школьников. М., 1985г.
40. Моро М.И. Пышкало А.М. Средства обучения математике в начальных классах. М., 1981г.
41. Михуйлова Т.А. Урок-игра.// Начальная школа. 2003г.№3.
42. Масловская Т.А. Дидактические игры на уроках математики. // Начальная школа. 1997г. №2.
43. Мухина В.С. Шестилетний ребенок в школе. М., 2008г.
44. Поляк Г. Занимательные задачи. М.,1993г.
45. Петрова И.А. Использование игры в учебном процессе. // Начальная школа. 1988 г. №3.
46. Ромашина В.Л. Как делать игры. // Начальная школа. 2009г. №10.
47. Сохина В.П. Обучение математике в начальной школе. / под редакцией Гальперина П.Я./ М., 1998г.
48. Селевко Г.К. Педагогические технологии на основе активизации и интенсификации деятельности учащихся. М., 1999.
49. Стойлова, Виленкин. Целые неотрицательные числа. М., 2007.
50. Стройк Д.Я. Краткий очерк по истории математики. М., 1990.
51. Ульянова Е.С. Учат в школе. М., 1999.
52. Эльконин Д.Б. Психология игры. М., Педагогика 2005.
53. Эльконин Д.Б. Психологические условия развивающего обучения. // Исследования мышления в советской психологии. М., 1970.