Фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого ненулевого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии меньшем, чем заданное.

ОпределениеПравить

Последовательность точек $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\{x_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$  метрического пространства $(X,\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})$$(X,\rho )$  называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши:

Для всякого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  найдётся такое натуральное $N$$N$ , что $\rho (x_{{n}},x_{{m}})<\varepsilon \$  для всех $n,m>N$$n,m>N$ .

Связанные определенияПравить

• Метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства, называется полным.

СвойстваПравить

• Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу из своего пространства.
• Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда всякая система вложенных замкнутых шаров с неограниченно убывающим радиусом имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.
• Если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.
• Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.

ЛитератураПравить

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004. — 7-е изд.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 3, — М.: Наука, 1970.