Гипероператор

Гиперопера́тор — обобщение традиционных арифметических операций — сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, — на высшие порядки (тетрация, пентация и так далее).

В силу некоммутативности (в общем случае) гипероператор имеет две обратные функции — гиперкорень и гиперлогарифм. Гиперкорень и гиперлогарифм сложения и умножения совпадают, образуя вычитание и деление соответственно, но уже для возведения в степень обратные функции становятся различными (корень и логарифм). Обратные операции обобщаются для гипероператора любого порядка.

ИсторияПравить

Исторически первым гипероператором является функция Аккермана (1928), сконструированная как пример всюду определённой не являющейся примитивно рекурсивной вычислимой функции от трёх аргументов $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(a,b,n)$$\varphi (a,b,n)$  такой, что для $n=0,1,2$$n=0,1,2$  она определяла операции сложения, умножения и возведения в степень соответственно:

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(a,b,0)=a+b$$\varphi (a,b,0)=a+b$ ,

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(a,b,1)=a\cdot <!--\; \cdot \; -->b$$\varphi (a,b,1)=a\cdot b$ ,

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(a,b,2)=a^b$$\varphi (a,b,2)=a^{b}$ ;

в стрелочной нотации Кнута:

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(a,b,n)=a{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{n-<!--\; -\; -->1}(b+1)$$\varphi (a,b,n)=a\uparrow ^{n-1}(b+1)$ .

Впоследствии Гудстейном были разработаны последовательности функций, более аккуратно реализующие концепцию гипероператоров.

ОпределениеПравить

Гипероператор порядка $n$$n$  с аргументами $a$$a$  и $b$$b$  (далее обозначаемый как $a^{(n)}b$$a^{(n)}b$ ) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  к последовательности из $b$$b$  одинаковых аргументов, (начиная с умножения, каждый из которых равен $a$$a$ ):

• сложение $a$$a$  и $b$$b$  — увеличение числа $a$$a$  на количество единиц, равное $b$$b$ : $a{}^{(1)}b=a+\underset{b}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{1+1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+1}}=a+b$$a{^{{(1)}}}b=a+\underbrace {1+1+\dots +1}_{{b}}=a+b$ 
• умножение $a$$a$  на $b$$b$  — сложение числа $a$$a$  с самим собой $b$$b$  раз: $a{}^{(2)}b=\underset{b}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a+a+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a}}=a\times <!--\; \times \; -->b$$a{^{{(2)}}}b=\underbrace {a+a+\dots +a}_{{b}}=a\times b$ 
• возведение a в степень b — умножение числа $a$$a$  на само себя $b$$b$  раз: $a{}^{(3)}b=\underset{b}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a\times <!--\; \times \; -->a\times <!--\; \times \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\times <!--\; \times \; -->a}}=a^b$$a{^{{(3)}}}b=\underbrace {a\times a\times \dots \times a}_{{b}}=a^{b}$ 
• $...$$...$ 
• $a{}^{(n)}b=\underset{b}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{(n-<!--\; -\; -->1)}{a}^{(n-<!--\; -\; -->1)}\dots <!--\; \dots \; -->a^{(n-<!--\; -\; -->1)}a}}$$a{^{{(n)}}}b=\underbrace {a^{{(n-1)}}a^{{(n-1)}}\dots a^{{(n-1)}}a}_{{b}}$ 

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка $n>2$$n>2$  не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно.

В простейшем случае значения переменных $a$$a$ , $b$$b$  и $n$$n$  ограничиваются натуральными числами. Возможные обобщения гипероператоров $n⩾<!--\; ⩾\; -->4$$n\geqslant 4$  на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.

Разные математики обозначают гипероператоры по-разному; Кнут использует стрелки $\uparrow <!--\; \uparrow \; -->$$\uparrow$ , Конвей использует стрелки $\to <!--\; \to \; -->$$\to$ :

$a{}^{(n)}b=\text{hyper}(a,n,b)=a{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{n-<!--\; -\; -->2}b=a\to <!--\; \to \; -->b\to <!--\; \to \; -->(n-<!--\; -\; -->2)$$a{^{{(n)}}}b={\textrm {hyper}}(a,n,b)=a\uparrow ^{{n-2}}b=a\to b\to (n-2)$ .

Альтернативные операцииПравить

Альтернативная операция может быть получена путём вычисления слева направо и в силу коммутативности и ассоциативности операций сложения и умножения эта операция совпадает с гипероператором при $n<4$ :

• $a+b=(a+(b-<!--\; -\; -->1))+1$$a+b=(a+(b-1))+1$ ,
• $a\times <!--\; \times \; -->b=(a\times <!--\; \times \; -->(b-<!--\; -\; -->1))+a$$a\times b=(a\times (b-1))+a$ ,
• $a^b=(a^{(b-<!--\; -\; -->1)})\times <!--\; \times \; -->a$$a^{b}=(a^{{(b-1)}})\times a$ .

Для гипероператора $n⩾<!--\; ⩾\; -->4$$n\geqslant 4$  вычисление слева направо (то есть альтернативная операция) отличается от гипероператора и проводит к другому результату, например, для $n=4,a=3,b=3$$n=4,a=3,b=3$  получим гипероператор тетрацию: $3{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{2}3={}^{3}3=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987$$3\uparrow ^{2}3={}^{3}3=3^{3^{3}}=3^{27}=7{\text{ }}625{\text{ }}597{\text{ }}484{\text{ }}987$ .

Но вычисление степенной башни слева направо приведёт к неверному итогу: $3^{3^3}\ne <!--\; \ne \; -->{\left(3^3\right)}^3=3^{3^2}=3^9=19683$$3^{3^{3}}\neq \left(3^{3}\right)^{3}=3^{3^{2}}=3^{9}=19{\text{ }}683$ .

ЛитератураПравить

• Эвнин А. Ю. Сверхстепени и их разности // Математическое образование. — 2001. — № 1(16). — С. 68—73.
• Шустов В. В. Общее числовое действие и некоторые его свойства. — 2008. — 64 с. — ISBN 978-5-382-00546-1.