C*-алгебра

C*-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.

Частным случаем С*-алгебры является комплексная алгебра над полем A линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

• А является топологически замкнутым множеством в топологии операторной нормы.
• А замкнуто относительно операции взятия сопряжений операторов.

Другой важный класс не-гильбертовых С*-алгебр составляют алгебры непрерывных функций $C_0(X)$$C_{0}(X)$ на пространстве $X$$X$.

C*-алгебры впервые были рассмотрены главным образом с целью использования их в квантовой механике для моделирования алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс C*-алгебр, которые теперь известны как алгебры фон Неймана.

Примерно в 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, используя понятие вполне регулярных колец, дали теоретическую характеристику C*-алгебр.

C*-алгебры в настоящее время являются важным инструментом в теории унитарных представлений локально компактных групп, а также используются в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований является классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных C*-алгебр.

Формальное определениеПравить

C*-алгеброй называют банахову алгебру A над полем комплексных чисел, для всех элементов которой $x\in <!--\; \in \; -->A$${\textstyle x\in A}$  определено отображение $x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->x^{\ast <!--\; \ast \; -->}$${\textstyle x\mapsto x^{*}}$  со следующими свойствами:

• Это отображение — инволюция для каждого x в A:

$x^{\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->}=(x^{\ast <!--\; \ast \; -->}{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=x$$x^{**}=(x^{*})^{*}=x$ 

• Для всех x, y в A:

$(x+y{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=x^{\ast <!--\; \ast \; -->}+y^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$ 

$(xy{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=y^{\ast <!--\; \ast \; -->}{x}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$ 

• Для всякого комплексного числа $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  в $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  и всякого x в A:

$(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}x{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{x}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}$ 

• Для всех x в A:

$\Vert <!--\; \Vert \; -->x^{\ast <!--\; \ast \; -->}x\Vert <!--\; \Vert \; -->=\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->x^{\ast <!--\; \ast \; -->}\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|$ 

Примечание. Первые три тождества говорят, что A является *-алгеброй. Последнее тождество называется C*-тождеством и эквивалентно формуле

$\Vert <!--\; \Vert \; -->x{x}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\Vert <!--\; \Vert \; -->=\Vert <!--\; \Vert \; -->x{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2$$\|xx^{*}\|=\|x\|^{2}$ 

С*-тождество является очень сильным требованием. Например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что C*-норма однозначно определяется алгебраической структурой:

$\Vert <!--\; \Vert \; -->x{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2=\Vert <!--\; \Vert \; -->x^{\ast <!--\; \ast \; -->}x\Vert <!--\; \Vert \; -->=sup\{|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|:x^{\ast <!--\; \ast \; -->}x-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}1\text{ не обратимый}\}.$$\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1\ {\text{ не обратимый}}\}.$ 

Ограниченный оператор $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  : A $\to <!--\; \to \; -->$$\to$  B между C*-алгебрами A и B называется *-гомоморфизмом, если

• для всех x и y из A выполняется

$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(xy)=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(y)$$\pi (xy)=\pi (x)\pi (y)$ 

• для всех x из A выполняется

$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x^{\ast <!--\; \ast \; -->})=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\pi (x^{*})=\pi (x)^{*}$ 

В случае C*-алгебр, любой *-гомоморфизм $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  между C*-алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой $\le <!--\; \le \; -->1$$\leq 1$ . Кроме того, инъективный *-гомоморфизм между C*-алгебрами является изометрическим. Эти свойства являются следствиями C*-тождества.

Биективный *-гомоморфизм $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  называется C*-изоморфизмом, и в этом случае А и B называются изоморфными.

СсылкиПравить

• Дж. Мёрфи. C*-алгебры и теория операторов = C*-Algebras and Operator Theory. — М.: Факториал, 1997. — ISBN 5-88688-016-X.
• Arveson W.^[en]. An Invitation to C*-Algebra (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1976. — Vol. 13 «Graduate texts in mathematics». — 106 p. — ISBN 0-387-90176-0.
• Connes, Alain, Non-commutative geometry, ISBN 0-12-185860-X, <https://archive.org/details/noncommutativege0000conn> 
• Dixmier, Jacques (1969), Les C*-algebres et leurs representations, Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1, <https://archive.org/details/calgebras0000dixm> 
• Doran, Robert S. & Belfi, Victor A. (1986), Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems, CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8 
• Emch, G. (1972), Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3 
• A. I. Shtern (2001), C* algebra, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Sakai, S. (1971), C*-algebras and W*-algebras, Springer, ISBN 3-540-63633-1 
• Segal, Irving (1947), Irreducible representations of operator algebras, Bulletin of the American Mathematical Society Т. 53 (2): 73—88, DOI 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5