Неравенство Гёльдера

Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств $L^p$$L^{p}$.

ФормулировкаПравить

Пусть $(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$(X,\mathcal{F},\mu)$  — пространство с мерой, а $L^p\equiv <!--\; \equiv \; -->L^p(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$  — пространство функций вида $f:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:X \to \mathbb{R}$  с конечной интегрируемой $p$$p$ ‑ой степенью. Тогда в последнем определена полунорма:

$\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p={\left(\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}|f(x){|}^p\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)\right)}^{1/p}$$\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{{1/p}}$ ,

где $p\ge <!--\; \ge \; -->1$$p\geq 1$  , обычно подразумевается, что это натуральное число.

Пусть $f\in <!--\; \in \; -->L^p$$f \in L^p$ , а $g\in <!--\; \in \; -->L^q$$g\in L^{q}$ , где $p,q\ge <!--\; \ge \; -->1,1/p+1/q=1$$p,q\geq 1,\;1/p+1/q=1$ . Тогда $f\cdot <!--\; \cdot \; -->g\in <!--\; \in \; -->L^1$$f\cdot g\in L^{1}$ , и

$\Vert <!--\; \Vert \; -->f\cdot <!--\; \cdot \; -->g{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_1\le <!--\; \le \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p\cdot <!--\; \cdot \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->g{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_q$$\|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}$ .

ДоказательствоПравить

Переформулируем неравенство Гёльдера, выразив нормы через соответствующие интегралы.
Пусть $X$$X$  — пространство с мерой $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ , $E\subset <!--\; \subset \; -->X$$E\subset X$ , $E$$E$  измеримо. Тогда:
$f\in L^{{p}},g\in L^{{q}},p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Rightarrow \int \limits _{E}|fg|\,d\mu <+\infty ,\;\int \limits _{E}\left|fg\right|\,d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|f|^{{p}}\,d\mu \right)^{{1/p}}\left(\int \limits _{E}|g|^{{q}}\,d\mu \right)^{{1/q}}$ 
Для доказательства воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):
$a,b\ge <!--\; \ge \; -->0,p>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->a^{1/p}{b}^{1/q}\le <!--\; \le \; -->\frac{a}{p}+\frac{b}{q}$$a,b\geq 0,p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Rightarrow a^{{1/p}}b^{{1/q}}\leq {\dfrac {a}{p}}+{\dfrac {b}{q}}$ 

Положим
$a=\frac{|f(x){|}^p}{\underset{E}{\int <!--\; \int \; -->}|f{|}^{p}d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}b=\frac{|g(x){|}^q}{\underset{E}{\int <!--\; \int \; -->}|g{|}^{q}d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{I}_1=\underset{E}{\int <!--\; \int \; -->}|f{|}^{p}d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}>0I_2=\underset{E}{\int <!--\; \int \; -->}|g{|}^{q}d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}>0$$a={\dfrac {|f(x)|^{{p}}}{\int \limits _{E}|f|^{{p}}d\mu }}\quad b={\dfrac {|g(x)|^{{q}}}{\int \limits _{E}|g|^{{q}}d\mu }}\quad I_{1}=\int \limits _{E}|f|^{{p}}d\mu >0\quad I_{2}=\int \limits _{E}|g|^{{q}}d\mu >0$ 

Применяя неравенство, получаем:
$|f(x)g(x)|\le <!--\; \le \; -->I_1^{1/p}{I}_2^{1/q}\left(\frac{|f(x){|}^p}{p\cdot <!--\; \cdot \; -->I_1}+\frac{|g(x){|}^q}{q\cdot <!--\; \cdot \; -->I_2}\right)$$|f(x)g(x)|\leq I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}\left({\dfrac {|f(x)|^{{p}}}{p\cdot I_{1}}}+{\dfrac {|g(x)|^{{q}}}{q\cdot I_{2}}}\right)$ 

Заметим, что правая часть неравенства суммируема по множеству $E$$E$  (отсюда вытекает и суммируемость левой части). Интегрируя неравенство по $E$$E$ , получаем:
$\underset{E}{\int <!--\; \int \; -->}|fg|d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\le <!--\; \le \; -->I_1^{1/p}{I}_2^{1/q}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)=I_1^{1/p}{I}_2^{1/q}$$\int \limits _{E}|fg|\,d\mu \leq I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}\left({\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}\right)=I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}$ 
Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Если $I_1$$I_1$  или $I_2$$I_{2}$  равен 0, то это значит, что $f$$f$  или $g$$g$  эквивалентны нулю на $E$$E$ , и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.

Частные случаиПравить

Неравенство Коши — БуняковскогоПравить

Положив $p=q=2$$p=q=2$ , получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства $L^2$$L^{2}$ .

Евклидово пространствоПравить

Рассмотрим Евклидово пространство $E={\mathbb{R}}^n$$E={\mathbb {R}}^{n}$  или ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C}^n$ . $L^p$$L^{p}$ -норма в этом пространстве имеет вид:

$\Vert <!--\; \Vert \; -->x{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p={\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x_i{|}^p\right)}^{1/p},x=(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n{)}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}$$\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{{1/p}},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{{\top }}$ ,

и тогда

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x_i\cdot <!--\; \cdot \; -->y_i|\le <!--\; \le \; -->{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x_i{|}^p\right)}^{1/p}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|y_i{|}^q\right)}^{1/q},\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->E$$\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}\cdot y_{i}|\leq \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|y_{i}|^{q}\right)^{{1/q}},\;\forall x,y\in E$ .

Пространство l^pПравить

Пусть $X=\mathbb{N},\mathcal{F}=2^{\mathbb{N}},m$$X={\mathbb {N}},\,{\mathcal {F}}=2^{{{\mathbb {N}}}},\,m$  — счётная мера на $\mathbb{N}$$\mathbb {N}$ . Тогда множество всех последовательностей $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ , таких что:

$\|x\|_{p}=\sum _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}|^{p}<\infty$ ,

называется $l^p$$l^{p}$ . Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x_n\cdot <!--\; \cdot \; -->y_n|\le <!--\; \le \; -->{\left(\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x_n{|}^p\right)}^{1/p}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\left(\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|y_n{|}^q\right)}^{1/q},\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->l^p,y\in <!--\; \in \; -->l^q$$\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left(\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|y_{n}|^{q}\right)^{{1/q}},\;\forall x\in l^{p},y\in l^{q}$ .

Вероятностное пространствоПравить

Пусть $(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F},\mathbb{P})$$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$  — вероятностное пространство. Тогда $L^p(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F},\mathbb{P})$$L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$  состоит из случайных величин с конечным $p$$p$ -м моментом: ${\mathbb {E}}\left[|X|^{p}\right]<\infty$ , где символ $\mathbb{E}$${\mathbb {E}}$  обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

$\mathbb{E}|XY|\le <!--\; \le \; -->{\left(\mathbb{E}|X{|}^p\right)}^{1/p}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\left(\mathbb{E}|Y{|}^q\right)}^{1/q},\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}X\in <!--\; \in \; -->L^p,Y\in <!--\; \in \; -->L^q$${\mathbb {E}}|XY|\leq \left({\mathbb {E}}|X|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left({\mathbb {E}}|Y|^{q}\right)^{{1/q}},\;\forall X\in L^{p},Y\in L^{q}$ .

См. такжеПравить

• Пространство Lp
• Неравенство Йенсена
• Гёльдер, Отто
• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского

ЛитератураПравить

• Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1.
• Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1973. — 352 с.