Считающая мера

Считающая ме́ра (также счётная мера) — формальный эквивалент количества элементов множества.

ОпределениеПравить

Пусть $(X,\mathcal{F})$$(X,{\mathcal {F}})$  — измеримое пространство, такое что любая точка $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  является измеримым множеством, то есть $\{x\}\in <!--\; \in \; -->\mathcal{F}$$\{x\}\in {\mathcal {F}}$ . Тогда мера $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ , определённая следующим образом: $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)=|A|$$\mu (A)=\vert A\vert$  — количество элементов в $A$$A$ , если $A$$A$  — конечное множество, и $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$ , если $A$$A$  бесконечно, называется счётной мерой.

СвойстваПравить

• Считающая мера конечна, если $\vert X\vert <\infty$ , и бесконечна в противном случае.
• Если $X$$X$  — счётное множество, то считающая мера σ-конечна.