Функциональный анализ

Функциона́льный ана́лиз — раздел анализа, в котором изучаются бесконечномерные топологические векторные пространства и их отображения. Наиболее важными примерами таких пространств являются пространства функций^[1] (отсюда и произошло название «функциональный анализ»^[2]).

В различных источниках в качестве разделов функционального анализа рассматриваются теория меры и интеграла, теория функций, теория операторов, дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах. Во второй половине XX века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических.

Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описаны языком функционального анализа. В частности, в начале XXI века функциональный анализ широко применяется в теории дифференциальных уравнений, математической физике, теоретической физике (в том числе, квантовой механике, теории струн), теории управления и оптимизации, теории вероятностей, математической статистике, теории случайных процессов и других областях. Теория преобразования Фурье, используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также может рассматриваться как часть функционального анализа.

Некоторые понятия функционального анализаПравить

Например — пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Важную роль играют такие понятия, как мера, метрика, норма, скалярное произведение. Для рассмотрения отображений пространств вводятся такие термины, как «оператор» и «функционал».

ИсторияПравить

Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений. Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внёс польский математик Стефан Банах.

Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).

Методы функционального анализа быстро приобрели популярность в различных областях математики и физики в качестве мощного инструмента. Значительную роль при этом сыграла теория линейных операторов:

Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит и теория линейных операторов, которую иногда называют становым хребтом функционального анализа. Именно через теорию операторов функциональный анализ столкнулся с квантовой механикой, дифференциальными уравнениями, теорией вероятности, а также рядом прикладных дисциплин.Костюченко А. Г., предисловие редактора перевода к книге ^[3] 1962 года

В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет-преобразованиям. Эта тема пришла из практики как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши.

Ключевые результатыПравить

Принцип равномерной ограниченности применимый к набору операторов с точной границей.
Принцип открытости отображения. Как её следствия — теорема Банаха об ограниченности линейного оператора, обратного биективному линейному ограниченному оператору, теорема о замкнутом графике.
Теорема Хана — Банаха о расширении функционала с подпространства на полное пространство, расширенное с сохранением нормы. Суть нетривиальный смысл в сопряжённых пространствах.
Одна из спектральных теорем (которых в действительности больше чем одна), дающая интегральную формулу для нормального оператора в Гильбертовом пространстве. Это теорема центральной важности для математического обоснования квантовой механики.
Теорема Гельфанда — Наймарка
Теорема Рисса — Фреше

Направления исследованийПравить

Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие ветви:

Мягкий анализ. Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.
Геометрия банаховых пространств.
Некоммутативная геометрия. Разработана Аленом Конном, частично построена на аппроксимации Джорджа Маки (George Mackey) в эргодической теории.
Теория изображений. Связана с квантовой механикой.
Квантовый функциональный анализ. Исследование пространств операторов вместо пространств функций.
Нелинейный функциональный анализ. Исследование нелинейных задач, бифуркаций, устойчивости гладких отображений, деформаций особенностей и др. в рамках функционального анализа.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ На самом деле, любое линейное пространство, в том числе и конечномерное, может быть реализовано как пространство функций. Сделать это можно несколькими способами. Например, линейное пространство линейно изоморфно множеству функций на базисе Гамеля этого пространства (или любого равномощного ему множества), отличных от нуля лишь на конечном числе точек. Другой вариант: вложим линейное пространство V в его второе алгебраически сопряженное, то есть в пространство всех линейных функционалов над пространством всех линейных функционалов над V.
↑ Линник, Анна Борисовна, Тимченко, Галина Николаевна. История развития функционального анализа (рус.) // Вестник Нац. техн. ун-та "ХПИ" : сб. науч. тр.. — Харьков, 2011. — № 20. — С. 79. Архивировано 12 мая 2018 года.
↑ Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — М.: ИЛ, 1962. — Т. 1.Общая теория. — С. 5—6.

ЛитератураПравить

Банах С. Теория линейных операций. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. ISBN 5-93972-031-5.
Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с.
Богачёв В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с. ISBN 978-5-93972-742-6.
Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. I: Общая теория. — М.: ИЛ, 1962.
Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. II: Спектральная теория. — М.: Мир, 1966.
Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. III: Спектральные операторы. — М.: Мир, 1974.
Иосида К. Функциональный анализ. Пер. с англ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.
Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2-ое изд. М.: Наука, 1965. 520 c.
Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу = Topics in nonlinear functional analysis. — М.: Мир, 1977. — 232 с.
О возникновении и развитии функционального анализа. Сб. статей. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1973. — № 18. — С. 13—103.
Пугачёв В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. — 744с.
Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
Рудин У. Функциональный анализ = Functional analysis. — М.: Мир, 1975. — 443 с.
Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 496 с.
Функциональный анализ / редактор Крейн С. Г.. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
Хелемский A. Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2009. — 304с.
Хелемский A. Я. Квантовый функциональный анализ в бескоординатном изложении. М.: МЦНМО, 2004. — 552с.
Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 830 с.
Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.
Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.
Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. — М.: Наука, 1967. — 510 с.
Функциональные пространства : уч. пос. для вузов : рек. Учеб.-метод. советом МФТИ / Г. Н. Яковлев ; Минобр РФ, МФТИ (ГУ). — М. : МФТИ, 2000 .— 136 с. - 500 экз. - ISBN 5-7417-0144-2.

[1] На самом деле, любое линейное пространство, в том числе и конечномерное, может быть реализовано как пространство функций. Сделать это можно несколькими способами. Например, линейное пространство линейно изоморфно множеству функций на базисе Гамеля этого пространства (или любого равномощного ему множества), отличных от нуля лишь на конечном числе точек. Другой вариант: вложим линейное пространство V в его второе алгебраически сопряженное, то есть в пространство всех линейных функционалов над пространством всех линейных функционалов над V.

[2] Линник, Анна Борисовна, Тимченко, Галина Николаевна. История развития функционального анализа (рус.) // Вестник Нац. техн. ун-та "ХПИ" : сб. науч. тр.. — Харьков, 2011. — № 20. — С. 79. Архивировано 12 мая 2018 года.

[3] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — М.: ИЛ, 1962. — Т. 1.Общая теория. — С. 5—6.

[1]

[2]

[3]