Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Частный случай неравенства Гёльдера и неравенства Йенсена.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

ФормулировкаПравить

Пусть дано линейное пространство $L$$L$  со скалярным произведением $⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle x,\;y\rangle$ . Пусть $\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\|x\|$  — норма, порождённая скалярным произведением, то есть $\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->\equiv <!--\; \equiv \; -->\sqrt{⟨<!--\; ⟨\; -->x,x⟩<!--\; ⟩\; -->},\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->L$$\|x\|\equiv\sqrt{\langle x,\;x\rangle},\;\forall x\in L$ . Тогда для любых $x,y\in <!--\; \in \; -->L$$x,\;y\in L$  имеем:

$|⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->|⩽<!--\; ⩽\; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->y\Vert <!--\; \Vert \; -->,$$|\langle x,\;y\rangle| \leqslant \|x\|\cdot\|y\|,$ 

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $x$$x$  и $y$$y$  линейно зависимы (коллинеарны, или среди них есть нулевой).

ПримерыПравить

• Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:

${\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i\right)}^2\le <!--\; \le \; -->\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}1\right)\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x_i}^2=n\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x_i}^2$$\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{1}}\right)\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}=n\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}$ 

• В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей $l^2$$l^2$  неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

${\left|\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_k{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}_k\right|}^2⩽<!--\; ⩽\; -->\left(\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x_k{|}^2\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|y_k{|}^2\right),$$\left|\sum\limits_{k=1}^\infty x_k\bar{y}_k\right|^2\leqslant\left(\sum_{k=1}^\infty|x_k|^2\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^\infty|y_k|^2\right),$ 

где ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}_k$$\bar{y}_k$  обозначает комплексное сопряжение $y_k$$y_{k}$ .

• В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций $L^2(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$L^2(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$  неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

${\left|\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{g(x)}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)\right|}^2⩽<!--\; ⩽\; -->\left(\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}{\left|f(x)\right|}^2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}{\left|g(x)\right|}^2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)\right).$$\left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leqslant\left(\int\limits_X\left|f(x)\right|^2\,\mu(dx)\right)\cdot\left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\right).$ 

• В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом $L^2(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F},\mathbb{P})$$L^2(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P})$  неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  ${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}}^2(X,Y)⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{D}[X]\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{D}[Y],$$\mathrm{cov}^2(X,\;Y)\leqslant\mathrm{D}[X]\cdot\mathrm{D}[Y],$ 

где $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}$$\mathrm{cov}$  обозначает ковариацию, а $\mathrm{D}$$\mathrm{D}$  — дисперсию.

• Для двух случайных величин $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  и $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}$$\eta$  неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  ${\left[\mathbf{M}(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})\right]}^2⩽<!--\; ⩽\; -->\mathbf{M}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{M}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2.$$\left[\mathbf {M} (\eta \cdot \xi )\right]^{2}\leqslant \mathbf {M} \eta ^{2}\cdot \mathbf {M} \xi ^{2}.$ 

Способы доказательстваПравить

Существует лишь несколько сущностно различных подходов к доказательству неравенства. Однако, ввиду его универсальности, одни и те же приводящие к нему формальные операции можно описывать в разных терминах. Из-за этого некоторые авторы представляют неравенство как имеющее чрезвычайно много доказательств.

Для удобства изложения в данном разделе, когда не указано иное, описываются доказательства только для пространства конечной размерности над $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ , то есть для конечных последовательностей $(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$(x_{1},\dots ,x_{n})$ , $(y_1,\dots <!--\; \dots \; -->,y_n)$$(y_{1},\dots ,y_{n})$ .

Комбинаторный (через перестановочное неравенство)Править

 

Схема доказательства неравенства для одной последовательности через перестановочное неравенство.

Случай с вектором из единицПравить

Пусть $y_1=\cdots <!--\; \cdots \; -->=y_n=1$$y_{1}=\dots =y_{n}=1$ . Раскрывая квадрат и делая замену $t=i-<!--\; -\; -->j$$t=i-j$ , квадрат суммы можно разбить на блоки следующим образом:

${\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i\right)}^2=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i{x}_j=\underset{t=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_j{x}_{j+t}\right),$${\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\right)}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{i}x_{j}}=\sum \limits _{t=0}^{n-1}{\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}x_{j+t}}}\right)}\ ,$ 

где обозначения $x_{n+1},x_{n+2},\dots <!--\; \dots \; -->$$x_{n+1},x_{n+2},\dots$  соответствуют $x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->$$x_{1},x_{2},\dots$ . Из перестановочного неравенства для двух копий последовательности $(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$(x_{1},\dots ,x_{n})$  и перестановок

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_t(j):=((t+j-<!--\; -\; -->1)\mathrm{mod}n)+1,t=0,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1$$\sigma _{t}(j):=((t+j-1)\mod {n})+1,\ \ \ t=0,\dots ,n-1$ 

следует, что каждая из внутренних сумм не превышает $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i^2$$\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}$ .

Общий случайПравить

Если все $y_i$$y_{i}$  – целые, то, раскрывая произведения $x_i{y}_i=\underset{y_i}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{x_i+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_i}}$$x_{i}y_{i}=\underbrace {x_{i}+\dots +x_{i}} _{y_{i}}$  и применяя уже доказанный частный случай для получившихся $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}_i$$\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}$  слагаемых, получим

${\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i{y}_i\right)}^2={\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{y_i}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{x_i+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_i}}\right)}^2\le <!--\; \le \; -->\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}_i\right)\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{y_i}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{x_i^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_i^2}}\right)=\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}_i\right)\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i^2{y}_i\right),$$\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}\right)^{2}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\underbrace {x_{i}+\dots +x_{i}} _{y_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\underbrace {x_{i}^{2}+\dots +x_{i}^{2}} _{y_{i}}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ ,$ 

Делением обоих частей на целые числа можно получить то же неравенство для рациональных $y_i$$y_{i}$ , а из непрерывности сложения и умножения следует и обобщение для произвольных вещественных $y_i$$y_{i}$ . Это утверждение в точности соответствует неравенству Коши-Буняковского для последовательностей

${x^{\prime }}_i:=x_i\sqrt{y_i}$${x'}_{i}:=x_{i}{\sqrt {y_{i}}}$ 

${y^{\prime }}_i:=\sqrt{y_i}$${y'}_{i}:={\sqrt {y_{i}}}$ .

Поэтому неравенство для произвольных $({x^{\prime }}_i{)}_{i=1}^n$$({x'}_{i})_{i=1}^{n}$ , $({y^{\prime }}_i{)}_{i=1}^n$$({y'}_{i})_{i=1}^{n}$  следует из возможности обратной замены

$x_i:=\frac{{x^{\prime }}_i}{{y^{\prime }}_i}$$x_{i}:={\frac {{x'}_{i}}{{y'}_{i}}}$ 

$y_i:={y^{\prime }}_i^2$$y_{i}:={y'}_{i}^{2}$ .

Вероятностный (через суммирование квадратов)Править

Идея (на примере дисперсии)Править

Самая известная реализация этого метода – рассмотрение дисперсии случайной величины. Очевидно, что если величина принимает неотрицательные значения, то её математическое ожидание также будет неотрицательно, поэтому

$\mathbb{E}\left[(X-<!--\; -\; -->\mathbb{E}[X]{)}^2\right]\ge <!--\; \ge \; -->0$$\mathbb {E} \left[{({X-\mathbb {E} [X]})^{2}}\right]\geq 0$ 

для любой случайной величины $X$$X$ . Благодаря линейности математического ожидания из этого следует, что

$0\le <!--\; \le \; -->\mathbb{E}\left[(X-<!--\; -\; -->\mathbb{E}[X]{)}^2\right]=\mathbb{E}\left[X^2-<!--\; -\; -->2X\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[X{]}^2\right]=\mathbb{E}[X^2]-<!--\; -\; -->2\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[X{]}^2=\mathbb{E}[X^2]-<!--\; -\; -->\mathbb{E}[X{]}^2$$0\leq \mathbb {E} \left[{(X-\mathbb {E} [X])^{2}}\right]=\mathbb {E} \left[{X^{2}-2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}}\right]=\mathbb {E} [X^{2}]-2\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}$ 

Пусть все $y_i>0$$y_{i}>0$  и $B:=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}_i$$B:=\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}$ . Для случайной величины $X$$X$ , которая принимает значение $x_i$$x_{i}$  с вероятностью $\frac{y_i}{B}$${\frac {y_{i}}{B}}$ , это неравенство означает, что

${\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i\frac{y_i}{B}\right)}^2=\mathbb{E}[X{]}^2\le <!--\; \le \; -->\mathbb{E}[X^2]=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i^2\frac{y_i}{B},$$\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}{\frac {y_{i}}{B}}}}\right)^{2}=\mathbb {E} [X]^{2}\leq \mathbb {E} [X^{2}]=\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}{\frac {y_{i}}{B}}}\ ,$ 

то есть

$\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i{y}_i\right)\le <!--\; \le \; -->B\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i^2{y}_i=\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}_i\right)\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i^2{y}_i\right).$$\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}\right)\leq B\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ .$ 

Отсюда неравенство Коши-Буняковского можно получить той же заменой переменных, что и в случае с применением перестановочного неравенства.

Интерпретация и альтернативные формыПравить

После замены переменных математическое ожидание описанной выше величины будет иметь вид

$\mathbb{E}[X]=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x_i}{y_i}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{y_i^2}{\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}_j^2}.$$\mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{n}{{\frac {x_{i}}{y_{i}}}\cdot {\frac {y_{i}^{2}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .$ 

Поэтому вероятностное доказательство, в сущности рассматривает сумму

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{x_i}{y_i}-<!--\; -\; -->\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\frac{x_j}{y_j}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{y_j^2}{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}_k^2}\right)\right)}^2\frac{y_i^2}{\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}_j^2}.$$\sum \limits _{i=1}^{n}{\left({{\frac {x_{i}}{y_{i}}}-\sum \limits _{j=1}^{n}{\left({{\frac {x_{j}}{y_{j}}}\cdot {\frac {y_{j}^{2}}{\sum \limits _{k=1}^{n}{y_{k}^{2}}}}}\right)}}\right)^{2}{\frac {y_{i}^{2}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .$ 

Из очевидной (ввиду возведения скобки в квадрат) неотрицательности этой суммы выводится соотношение между слагаемыми, получающимися при раскрытии скобки – двое из трёх таких слагаемых сокращаются в одно (различаются лишь на константу) за счёт структуры формулы. Изменяя нормировку (деление на суммы) с помощью внесения множителей под скобки и домножения константы, легко увидеть, что такой подход аналогичен использованию более наглядной суммы

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{x_i}{\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_j{y}_j}-<!--\; -\; -->\frac{y_i}{\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}_j^2}\right)}^2.$$\sum \limits _{i=1}^{n}{{\left({{\frac {x_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}y_{j}}}}-{\frac {y_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\right)}^{2}}\ .$ 

Неравенства с такими суммами, записанные без привязки к вероятностным определениям, остаются корректным и без условия $y_i>0$$y_{i}>0$  из предыдущего раздела. В частности, для произвольного гильбертова пространства при $⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$\langle {x,y}\rangle \in \mathbb {R}$  можно рассмотреть неравенство

$0\le <!--\; \le \; -->{\left|\left|y-<!--\; -\; -->\frac{⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->}{||x|{|}^2}x\right|\right|}^2\le <!--\; \le \; -->⟨y-<!--\; -\; -->\frac{⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->}{⟨<!--\; ⟨\; -->x,x⟩<!--\; ⟩\; -->}x,y-<!--\; -\; -->\frac{⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->}{⟨<!--\; ⟨\; -->x,x⟩<!--\; ⟩\; -->}x⟩=⟨<!--\; ⟨\; -->y,y⟩<!--\; ⟩\; -->-<!--\; -\; -->2\frac{⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->}{⟨<!--\; ⟨\; -->x,x⟩<!--\; ⟩\; -->}⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->+\frac{⟨<!--\; ⟨\; -->x,y{⟩<!--\; ⟩\; -->}^2}{⟨<!--\; ⟨\; -->x,x{⟩<!--\; ⟩\; -->}^2}⟨<!--\; ⟨\; -->x,x⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->y,y⟩<!--\; ⟩\; -->-<!--\; -\; -->\frac{⟨<!--\; ⟨\; -->x,y{⟩<!--\; ⟩\; -->}^2}{⟨<!--\; ⟨\; -->x,x⟩<!--\; ⟩\; -->},$$0\leq \left\vert \left\vert {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{||x||^{2}}}x}\right\vert \right\vert ^{2}\leq \left\langle {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x,y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x}\right\rangle =\langle {y,y}\rangle -2{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}\langle {x,y}\rangle +{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2}}{\langle {x,x}\rangle ^{2}}}\langle {x,x}\rangle =\langle {y,y}\rangle -{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2}}{\langle {x,x}\rangle }}\ ,$ 

а при $⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathbb{R}$$\langle {x,y}\rangle \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$  достаточно домножить $x$$x$  на комплексное число вида $e^{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}i},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$e^{\varphi i},\varphi \in \mathbb {R}$  чтобы свести всё к первому случаю.

Аналогичным способом можно использовать другую, симметричную, сумму, где после раскрытия скобки сокращаются два крайних слагаемых (полученные возведением в квадрат), а не крайнее с центральным:

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{x_i}{\sqrt{\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_j^2}}-<!--\; -\; -->\frac{y_i}{\sqrt{\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}_j^2}}\right)}^2.$$\sum \limits _{i=1}^{n}{{\left({{\frac {x_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}^{2}}}}}-{\frac {y_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}}\right)}^{2}}\ .$ 

или, что то же самое,

${\left|\left|\frac{x}{||x||}-<!--\; -\; -->\frac{y}{||y||}\right|\right|}^2.$$\left\vert \left\vert {{\frac {x}{||x||}}-{\frac {y}{||y||}}}\right\vert \right\vert ^{2}\ .$ 

Кроме вероятностной интерпретации, использование таких сумм может быть описано через оценку дискриминанта квадратного уравнения или неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим.

Прямой (через группировку множителей)Править

Ещё одна (впрочем, нуждающаяся в инструментарии двух предыдущих) идея состоит в представлении неравенства в виде

$\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i{y}_i\right)\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_j{y}_j\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(x_i{y}_j)(x_j{y}_i)\le <!--\; \le \; -->\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(x_i{y}_j{)}^2=\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i^2\right)\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}_j^2\right).$$\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}y_{j}}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j})(x_{j}y_{i})}\leq \sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j})^{2}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}\right)\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}\right)\ .$ 

Такую форму можно доказать двумя способами:

• сравнивав все слагаемые за один шаг, применив перестановочное неравенство для двух копий набора $(x_i{y}_j{)}_{(i,j)\in <!--\; \in \; -->[1;n{]}^2}$$(x_{i}y_{j})_{(i,j)\in [1;n]^{2}}$  и перестановки $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(i,j):=(j,i)$$\sigma (i,j):=(j,i)$ ;

• сравнивая каждое слагаемое отдельно, применяя неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим для двух переменных $a=x_i{y}_j,b=x_j{y}_i$$a=x_{i}y_{j},\ b=x_{j}y_{i}$ , что по сути соответствует рассмотрению суммы квадратов вида $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(x_i{y}_j-<!--\; -\; -->x_j{y}_i{)}^2$$\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}}$  или нормы соответствующего вектора в тензорном произведении произвольных гильбертовых пространств.

Применение случая n=2 к суммамПравить

Неравенство можно получить с помощью индукции, шагом которой для перехода от $n$$n$  к $(n+1)$$(n+1)$ -ому слагаемому будет применение того же неравенства для двух слагаемых. Предположение индукции для последовательностей $(x_i{)}_{i=1}^n$$(x_{i})_{i=1}^{n}$ , $(y_i{)}_{i=1}^n$$(y_{i})_{i=1}^{n}$  даёт неравенство

$\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i{y}_i\right)+x_{n+1}{y}_{n+1}\le <!--\; \le \; -->{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x_i}^2\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y_i}^2\right)}^{\frac{1}{2}}+x_{n+1}{y}_{n+1}$$\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {red}{x_{i}}\color {blue}{y_{i}}}}\right)+x_{n+1}y_{n+1}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {red}{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {blue}{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}+x_{n+1}y_{n+1}$ 

А из случая $n=2$$n=2$  для последовательностей $\left({\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x_i}^2\right)}^{\frac{1}{2}},x_{n+1}\right)$$\left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}},x_{n+1}}\right)$ , $\left({\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y_i}^2\right)}^{\frac{1}{2}},y_{n+1}\right)$$\left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}},y_{n+1}}\right)$  легко видеть, что

${\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x_i}^2\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y_i}^2\right)}^{\frac{1}{2}}+x_{n+1}{y}_{n+1}\le <!--\; \le \; -->\left({\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x_i}^2\right)}^{\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->2}+{x_{n+1}}^2\right)\left({\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y_i}^2\right)}^{\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->2}+{y_{n+1}}^2\right)=\left(\underset{i=1}{\overset{n+1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i^2\right)\left(\underset{i=1}{\overset{n+1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}_i^2\right)$${\color {red}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}{\color {blue}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}+{\color {red}{x_{n+1}}\color {blue}{y_{n+1}}}\leq \left({{\color {red}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\color {black}{\cdot 2}}}}+{\color {red}{x_{n+1}}^{2}}}\right)\left({{\color {blue}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\color {black}{\cdot 2}}}}+{\color {blue}{y_{n+1}}^{2}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1}{x_{i}^{2}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1}{y_{i}^{2}}}\right)$ 

Таким образом неравенство доказывается для произвольного $n$$n$  индукцией с базой $n=2$$n=2$ . Базу можно доказать любым из остальных способов (например, через неравенство $(x_1{y}_2-<!--\; -\; -->x_2{y}_1{)}^2\ge <!--\; \ge \; -->0$$(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq 0$ ). Также для $n=2$$n=2$  существуют наглядные геометрические доказательства.

ЛитератураПравить

• Hui-Hua Wu, Shanhe Wu. Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality (англ.) // Octogon mathematical magazine. — 2009. — Vol. 17, iss. 1. — P. 221–229.