Неравенство Юнга

Нера́венство Ю́нга в математике — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга — Фенхеля.

ФормулировкаПравить

Пусть $a,b⩾<!--\; ⩾\; -->0$$a,b\geqslant 0$  и $p,q>1$$p,q >\!\ 1$  — сопряженные показатели (то есть такие числа, что $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$ ). Тогда

$ab⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$ab \leqslant \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ .

ДоказательствоПравить

Для $a=0$$a=0$  или $b=0$$b=0$  неравенство очевидно. Для $a>0$$a>0$ , $b>0$$b>0$  неравенство следует из выпуклости вверх ("впуклости") (это свойство называется также вогнутостью) логарифмической функции: для любых $x_1$$x_{1}$ , $x_2>0$$x_2>0$ 

$\ln <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{x}_1+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{x}_2)⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ln <!--\; \; -->x_1+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\ln <!--\; \; -->x_2,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->0,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=1$$\ln(\alpha x_{1}+\beta x_{2})\geqslant \alpha \ln x_{1}+\beta \ln x_{2},~~~\forall \alpha ,\beta \geqslant 0,\alpha +\beta =1$ .

Положив в этом неравенстве $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=p^{-<!--\; -\; -->1},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=q^{-<!--\; -\; -->1},x_1=a,x_2=b,$$\alpha = p^{-1}, ~ \beta = q^{-1}, ~ x_1 = a, ~ x_2 = b,$  получим, что

$\ln <!--\; \; -->\left(\frac{a}{p}+\frac{b}{q}\right)⩾<!--\; ⩾\; -->\frac{\ln <!--\; \; -->a}{p}+\frac{\ln <!--\; \; -->b}{q}=\ln <!--\; \; -->\left(a^{\frac{1}{p}}{b}^{\frac{1}{q}}\right)$$\ln \left({\frac {a}{p}}+{\frac {b}{q}}\right)\geqslant {\frac {\ln a}{p}}+{\frac {\ln b}{q}}=\ln \left(a^{\frac {1}{p}}b^{\frac {1}{q}}\right)$ ,

которое равносильно неравенству Юнга.

Альтернативный вариантПравить

Доказательство, как частный случай неравенства Юнга — Фенхеля. Для скалярной функции неравенство Юнга — Фенхеля записывается в виде:

$f(x)+f^{\star <!--\; \star \; -->}(y)⩾<!--\; ⩾\; -->y\cdot <!--\; \cdot \; -->x$$f(x)+f^{\star }(y)\geqslant y\cdot x$ ,

где $f^{\star <!--\; \star \; -->}(y)={\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}_x(xy-<!--\; -\; -->f(x))$$f^\star(y) = \mathrm{max}_x(xy-f(x))$  есть преобразование Лежандра от функции $f(x)$$f(x)$ .

Если положить $f(x)=x^p/p$$f(x)=x^p/p$ , то преобразование Лежандра в точке $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}={\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}^{p-<!--\; -\; -->1}$$\bar y=\bar x^{p-1}$  даёт

$f^{\star <!--\; \star \; -->}(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y})=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}-<!--\; -\; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}^p/p={\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}^q/q$$f^\star(\bar y)=\bar x \bar y-\bar x^p/p=\bar y^q/q$ ,

где $1/q=1-<!--\; -\; -->1/p$$1/q=1-1/p$ . Подставляя полученное в исходное неравенство, получаем искомый результат.

ЗамечаниеПравить

Равенство достигается в том и только том случае, когда $a^p=b^q$$a^p = b^q$ .

См. такжеПравить

• Неравенство Гёльдера.
• Преобразование Лежандра.
• Теорема Юнга