Объединение множеств

Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств $A$$A$ и $B$$B$ обычно обозначается $A$$A$ ∪ $B$$B$, но иногда можно встретить запись в виде суммы $A+B$$A+B$.

Объединение A и B

ОпределенияПравить

Объединение двух множествПравить

Пусть даны два множества $A$$A$  и $B$$B$ . Тогда их объединением называется множество

$A\cup <!--\; \cup \; -->B=\{x\mid <!--\; \mid \; -->x\in <!--\; \in \; -->A\vee <!--\; \vee \; -->x\in <!--\; \in \; -->B\}.$$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}.$ 

Объединение семейства множествПравить

Пусть дано семейство множеств $\{M_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}.$$\{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.$  Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

$\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}{M}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\{x\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A,x\in <!--\; \in \; -->M_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\}.$$\bigcup \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \exists \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.$ 

СвойстваПравить

• Объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане $2^X;$$2^{X};$ 
• Операция объединения множеств коммутативна:

  $A\cup <!--\; \cup \; -->B=B\cup <!--\; \cup \; -->A;$$A\cup B=B\cup A;$ 

• Операция объединения множеств ассоциативна:

  $(A\cup <!--\; \cup \; -->B)\cup <!--\; \cup \; -->C=A\cup <!--\; \cup \; -->(B\cup <!--\; \cup \; -->C);$$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C);$ 

• Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения:

  $\left(\underset{k}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}{A}_k\right)\cup <!--\; \cup \; -->B=\underset{k}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}\left(A_k\cup <!--\; \cup \; -->B\right)$$\left(\bigcap _{k}A_{k}\right)\cup B=\bigcap _{k}\left(A_{k}\cup B\right)$ 

• Пустое множество $X$$X$  является нейтральным элементом операции объединения множеств:

  $A\cup <!--\; \cup \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}=A;$$A\cup \emptyset =A;$ 

• Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;
• Операция объединения множеств идемпотентна:

  $A\cup <!--\; \cup \; -->A=A.$$A\cup A=A.$ 

ПримерыПравить

• Пусть $A=\{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7,8\}.$$A=\{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7,8\}.$  Тогда

$A\cup <!--\; \cup \; -->B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\};$$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\};$ 

• $\underset{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}[n,n+1]=\mathbb{R}.$$\bigcup \limits _{n\in \mathbb {Z} }[n,n+1]=\mathbb {R} .$ 

См. такжеПравить

• Дизъюнктное объединение
• Операции над множествами