Максимальные и минимальные элементы

Элемент $M$$M$ частично упорядоченного множества $A$$A$ называется максимальным элементом, если

• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->A(a⩾<!--\; ⩾\; -->M\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->a=M).$$\forall a\in A\;(a\geqslant M\Rightarrow a=M).$

Аналогично, элемент $m\in <!--\; \in \; -->A$$m\in A$ называется минимальным, если

• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->A(a⩽<!--\; ⩽\; -->m\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->a=m).$$\forall a\in A\;(a\leqslant m\Rightarrow a=m).$

Записывается как $M=maxA$$M=\max A$ (соотв. свойство минимальности записывается как $m=minA$$m=\min A$). В случае линейно упорядоченного множества (например, в случае подмножества вещественной прямой $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ с естественным порядком) понятие максимального (соотв. минимального) элемента совпадает с понятием наибольшего (соотв. наименьшего) элемента, но в общем случае эти понятия различаются: наибольший элемент всегда является максимальным, обратное не всегда верно, так как для максимального элемента могут существовать несравнимые с ним элементы.

Не существует максимального элемента подмножества $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$, если оно не ограничено сверху. Даже если это множество ограничено сверху, максимального элемента также может не существовать (хотя и инфимум, и супремум существуют для любого ограниченного множества). Например, для интервала $A=\left(a,b\right)$$A=\left({a,b}\right)$ не существует ни минимального, ни максимального элемента.

ЛитератураПравить

• Иванов Г. Е. Лекции по математическому анализу. Часть 1. — М.: МФТИ, 2000. — 359 с. — 800 экз. — ISBN 5-7417-0147-7.

См. такжеПравить

• Аргументы максимизации и минимизации