Лоренц-ковариантность

Для термина «Лоренц» см. также другие значения.

Лоренц-ковариантность — свойство систем математических уравнений, описывающих физические законы, сохранять свой вид при применении преобразований Лоренца. Более точно, всякий физический закон должен представляться релятивистски инвариантной системой уравнений, т.е. инвариантной относительно полной ортохронной неоднородной группы Лоренца. Принято считать, что этим свойством должны обладать все физические законы, и экспериментальных отклонений от него не обнаружено. Однако некоторые теории^{[уточнить]} пока не удаётся построить так, чтобы выполнялась лоренц-ковариантность.

ТерминологияПравить

Лоренц-ковариантность физических законовПравить

Лоренц-ковариантность физических законов — конкретизация принципа относительности (то есть постулируемого требования независимости результатов физических экспериментов и записи уравнений от выбора конкретной системы отсчёта). Исторически эта концепция стала ведущей при включении в сферу действия принципа относительности (раньше формулировавшегося с применением не преобразования Лоренца, а преобразования Галилея) максвелловской электродинамики, уже тогда лоренц-ковариантную и не имевшую видимых возможностей переделки для ковариантности относительно преобразований Галилея, что привело к распространению требования лоренц-ковариантности и на механику и вследствие этого к изменению последней.

Преобразования Лоренца удобно рассматривать как вращения и специальные преобразования в четырёхмерном пространстве и использовать для их описания векторный и тензорный анализ. Благодаря этому запись систем математических уравнений, описывающих законы природы, в векторной и тензорной форме, позволяет сразу же определить их лоренц-ковариантность, не выполняя преобразование Лоренца.

Лоренц-инвариантные величиныПравить

Лоренц-инвариантностью называют свойство какой-нибудь величины сохраняться при преобразованиях Лоренца (обычно имеется в виду скалярная величина, однако встречается и применение этого термина к 4-векторам или тензорам, имея в виду не их конкретное представление, а «сами геометрические объекты»).

Согласно теории представлений группы Лоренца, лоренц-ковариантные величины, помимо скаляров, строятся из 4-векторов, спиноров и их тензорных произведений (тензорные поля).

«Ковариантность» vs «инвариантность»Править

В последнее время наметилось вытеснение термина лоренц-ковариантность термином лоренц-инвариантность, который всё чаще применяется равно и к законам (уравнениям), и к величинам . Трудно сказать, является ли это уже нормой языка, или всё же скорее некоторой вольностью употребления. Однако в более старой литературе^{[какой?]} имелась тенденция строгого разграничения этих терминов: первый (ковариантность) употреблялся по отношению к уравнениям и многокомпонентным величинам (представлениям тензоров, в том числе векторов, и самим тензорам, так как часто не проводилось терминологической грани между тензором и набором его компонент), подразумевая согласованное изменение компонент всех входящих в равенства величин или просто согласованное друг с другом изменение компонент разных тензоров (векторов); второй же (инвариантность) применялся, как более частный, к скалярам (также к скалярным выражениям), подразумевая простую неизменность величины.

ПримерыПравить

СкалярыПравить

Синонимом слов лоренц-инвариантная величина в 4-мерном пространственно-временном формализме является термин скаляр, который для полной конкретизации подразумеваемого контекста иногда называют лоренц-инвариантным скаляром.

• Скорость света в вакууме.

• Интервал:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{s}^2={\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{ab}{x}^a{x}^b=c^2\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{t}^2-<!--\; -\; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{x}^2-<!--\; -\; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{y}^2-<!--\; -\; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{z}^2$$\Delta s^{2}=\eta _{{ab}}x^{a}x^{b}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}\$ 

• Собственное время:

при равномерном движении:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\sqrt{\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{s}^2}{c^2}},\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{s}^2>0$$\Delta \tau ={\sqrt {{\frac {\Delta s^{2}}{c^{2}}}}},\,\Delta s^{2}>0$ 

в общем случае:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\int <!--\; \int \; -->d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\frac{1}{c}\int <!--\; \int \; -->\sqrt{(ds{)}^2}=\int <!--\; \int \; -->\sqrt{1-<!--\; -\; -->\frac{v^2}{c^2}}dt,$$\Delta \tau =\int d\tau ={\frac 1c}\int {\sqrt {(ds)^{2}}}=\int {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt,\ \$  где $v$$v$  — величина трехмерной скорости, причем подразумевается, что всюду $(ds)^{2}>0,v<c$ 

• Действие для массивной бесструктурной точечной частицы массы m:

$S=m{c}^2\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=mc\int <!--\; \int \; -->\sqrt{(ds{)}^2}=m{c}^2\int <!--\; \int \; -->\sqrt{1-<!--\; -\; -->\frac{v^2}{c^2}}dt$$S=mc^{2}\Delta \tau =mc\int {\sqrt {(ds)^{2}}}=mc^{2}\int {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt$ 

• Инвариантная масса m:

$m^2{c}^2={\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{ab}{p}^a{p}^b=\frac{E^2}{c^2}-<!--\; -\; -->p_x^2-<!--\; -\; -->p_y^2-<!--\; -\; -->p_z^2$$m^{2}c^{2}=\eta _{{ab}}p^{a}p^{b}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p_{x}^{2}-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}$ 

• Электромагнитные инварианты (из теории Максвелла):

$F_{ab}{F}^{ab}=2\left(B^2-<!--\; -\; -->\frac{E^2}{c^2}\right)$$F_{{ab}}F^{{ab}}=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)$ 

$G_{cd}{F}^{cd}=\frac{1}{2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{abcd}{F}^{ab}{F}^{cd}=-<!--\; -\; -->\frac{4}{c}\left(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}\right)$$G_{cd}F^{cd}={\frac {1}{2}}\epsilon _{abcd}F^{ab}F^{cd}=-{\frac {4}{c}}\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right)$ 

• Волновой оператор (оператор Даламбера):

$\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}={\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}$$\Box =\eta ^{{\mu \nu }}\partial _{\mu }\partial _{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$ 

(при данном выборе сигнатуры метрики Минковского η приведенный вид оператора совпадает с традиционным определением оператора Даламбера с точностью до знака).

• Электрический заряд
• Постоянная Планка
• Энтропия
• Постоянная Больцмана
• Фаза электромагнитной волны

4-векторыПравить

$x^a=[ct,x,y,z]$$x^{a}=[ct,x,y,z]\$ 

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_a=\left[\frac{1}{c}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}\right]$$\partial _{a}=\left[{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right]$ 

$U^a=\frac{d{x}^a}{cd\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=\frac{1}{c\sqrt{1-<!--\; -\; -->v^2/c^2}}\left[c,v_x,v_y,v_z\right],$$U^{a}={\frac {dx^{a}}{cd\tau }}={\frac {1}{c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\left[c,v_{x},v_{y},v_{z}\right],$ 

где $v_x=\frac{dx}{dt},v_y=\frac{dy}{dt},v_z=\frac{dz}{dt},v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$$v_{x}={\frac {dx}{dt}},v_{y}={\frac {dy}{dt}},v_{z}={\frac {dz}{dt}},v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$ 

$p^a=m_0{U}^a=\left[\frac{E}{c},p_x,p_y,p_z\right]$$p^{a}=m_{0}U^{a}=\left[{\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right]$ 

$j^a=[c\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->},j_x,j_y,j_z]$$j^{a}=[c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}]\$ 

ТензорыПравить

$\delta _{b}^{a}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}a=b,\\0&{\mbox{if }}a\neq b.\end{cases}}$ 

$\eta _{{ab}}=\eta ^{{ab}}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}a=b=0,\\-1&{\mbox{if }}a=b=1,2,3,\\0&{\mbox{if }}a\neq b.\end{cases}}$ 

$\epsilon _{abcd}=-\epsilon ^{abcd}={\begin{cases}+1&{\mbox{если }}\{abcd\}{\mbox{ четная перестановка }}\{0123\},\\-1&{\mbox{если }}\{abcd\}{\mbox{ нечетная перестановка }}\{0123\},\\0&{\mbox{во всех прочих случаях.}}\end{cases}}$ 

$F_{{ab}}={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}$ 

$G_{{cd}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{{abcd}}F^{{ab}}={\begin{bmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&-E_{z}/c&E_{y}/c\\-B_{y}&E_{z}/c&0&-E_{x}/c\\-B_{z}&-E_{y}/c&E_{x}/c&0\end{bmatrix}}$ 

См. такжеПравить

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии	Изотропность времени	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца (бусты)	Относительность Лоренц-ковариантность	…движения центра масс
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

• Преобразования Лоренца
• Принцип относительности
• Общековариантность
• Калибровочная инвариантность
• Ковариантность и контравариантность (математика)

ЛитератураПравить

• Паули В. Теория относительности. — М.: Наука, 1983. — 336 с.