Теорема о движении центра масс системы

Теоре́ма о движе́нии це́нтра масс (це́нтра ине́рции) системы — одна из теорем динамики, следствие законов Ньютона. Утверждает, что ускорение центра масс системы не зависит от внутренних сил взаимодействия между телами системы, и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему.

Системой, о которой идёт речь в теореме, может являться любая механическая система, например, совокупность материальных точек, протяжённое тело или совокупность протяжённых тел.

Стандартная формулировка теоремыПравить

Нередко при рассмотрении движения системы полезно знать закон движения её центра масс. В общем случае этот закон, составляющий содержание теоремы о движении центра масс, формулируется следующим образом:

Произведение массы системы на ускорение её центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

ДоказательствоПравить

Пусть система состоит из $N$$N$  материальных точек с массами $m_i$$m_{i}$  и радиус-векторами ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_i$$\vec r_i$ . Центром масс (центром инерции) называется геометрическая точка, радиус-вектор ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R}}_c$${\vec R}_{c}$  которой удовлетворяет равенству

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R}}_c=\frac{\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{m_i},$${\vec {R}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{M}},\qquad \qquad$ 

где $M$$M$  — масса всей системы, равная $\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{m}_i.$$\sum \limits _{i}m_{i}.$ 

Дифференцируя два раза по времени, для ускорения центра масс ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_c$${\vec a}_{c}$  получаем:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_c=\frac{\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{m_i},$${\vec {a}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}}{M}},\qquad \qquad$ 

где ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_i$${\vec a}_{i}$  — ускорение материальной точки с номером i.

Для последующего рассмотрения разделим все силы, действующие на тела системы, на два типа:

• внешние — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i, обозначим ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}_i$$\vec F_i$ ;
• внутренние — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{f}}_{i,k}$${\vec f}_{{i,k}}$ . Соответственно, сила воздействия i-й точки на k-ю точку будет обозначаться ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{f}}_{k,i}$${\vec f}_{{k,i}}$ . Для $i=k$$i=k$  будет ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{f}}_{i,k}=0.$${\vec f}_{{i,k}}=0.$ 

Используя введённые обозначения, второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек можно записать в виде

$m_i{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_i={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}_i+\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{f}}_{i,k}.$$m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad$ 

Просуммировав такие уравнения для всех i, получим:

$\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{m}_i{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_i=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}_i+\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{f}}_{i,k}.$$\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad$ 

Выражение $\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{f}}_{i,k}$$\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec f}_{{i,k}}$  представляет собой сумму внутренних сил, действующих в системе. Учтём теперь, что по третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{f}}_{i,k}$${\vec f}_{{i,k}}$  соответствует сила ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{f}}_{k,i}$${\vec f}_{{k,i}}$  такая, что ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{f}}_{i,k}=-<!--\; -\; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{f}}_{k,i}$${\vec f}_{{i,k}}=-{\vec f}_{{k,i}}$  и, значит, выполняется ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{f}}_{i,k}+{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{f}}_{k,i}=0.$${\vec f}_{{i,k}}+{\vec f}_{{k,i}}=0.$  Поскольку вся сумма состоит из таких пар, сама сумма равна нулю. Таким образом,

$\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{m}_i{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_i=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}_i.$$\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.\qquad \qquad$ 

Далее, обозначив $\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}_i=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$$\sum \limits _{i}{\vec F}_{i}={\vec F}$  и подставив полученное выражение в равенство для ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_c$${\vec a}_{c}$ , приходим к уравнению

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_c=\frac{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}{M}$${\vec {a}}_{c}={\frac {\vec {F}}{M}}\,\,\,$  или $M{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_c=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}.$$\,\,M{\vec {a}}_{c}={\vec {F}}.\qquad \qquad$ 

Таким образом, движение центра масс определяется только внешними силами, а внутренние силы никакого влияния на это движение оказать не могут. Последняя формула и является математическим выражением теоремы о движении центра масс системы.

Альтернативная формулировка теоремыПравить

Вид итоговой формулы для ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_c$${\vec a}_{c}$  в точности тот же, что и у формулы второго закона Ньютона. Отсюда следует справедливость такой формулировки теоремы о движении центра масс:

Центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе системы, под действием силы, равной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Закон сохранения движения центра массПравить

В отсутствие внешних сил, а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю, ускорение центра масс равно нулю, и, значит, его скорость постоянна. Таким образом, справедливо утверждение, составляющее содержание закона сохранения движения центра масс:

Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс такой системы движется с постоянной скоростью, т. е. равномерно и прямолинейно.

В частности, если первоначально центр масс покоился, то в указанных условиях он будет покоиться и в дальнейшем.

Из закона сохранения движения центра масс следует, что система отсчёта, связанная с центром масс замкнутой системы, является инерциальной. Использование таких систем отсчёта при изучении механических свойств замкнутых систем предпочтительно, поскольку таким образом исключается из рассмотрения равномерное и прямолинейное движение системы как целого.

Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. В этом случае проекция ускорения центра масс на это направление также равна нулю и, соответственно, скорость центра масс вдоль этого направления не изменяется.

Значимость теоремыПравить

Доказанная теорема расширяет и обосновывает возможности использования понятия материальная точка для описания движения тел. Действительно, если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс, которое в свою очередь описывается полученным уравнением для ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_c$${\vec a}_{c}$ . Таким образом, поступательно движущееся тело всегда возможно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела, независимо от его геометрических размеров. Кроме того, тело можно рассматривать как материальную точку и во всех тех случаях, когда в силу условий задачи вращение тела интереса не представляет, а для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что при решении задачи об определении характера движения центра масс она позволяет полностью исключить из рассмотрения все внутренние силы.

ИсторияПравить

Закон сохранения движения центра масс сформулировал Исаак Ньютон в своём знаменитом труде «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 году. И. Ньютон писал: «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно». Далее он делал вывод: «Таким образом, поступательное количество движения отдельного ли тела или системы тел, надо всегда рассчитывать по движению центра тяжести их».

См. такжеПравить

• Теорема о кинетической энергии системы
• Теорема об изменении количества движения системы