Принцип общей ковариантности

Принцип общей ковариантности — принцип, утверждающий, что уравнения, описывающие физические явления в различных системах координат, должны иметь в них одинаковую форму. Такие уравнения называют общековариантными. Примером в ньютоновской механике являются уравнения движения в неинерциальных системах отсчёта, включающие в себя силы инерции.

Принцип общей ковариантности имел большое эвристическое значение для вывода уравнений общей теории относительности, где формулировался так: физическое уравнение выполняется в произвольном гравитационном поле, если

• уравнение выполняется в отсутствие гравитации, то есть оно соответствует законам специальной теории относительности, когда метрический тензор в нем равняется тензору плоского пространства-времени Минковского и аффинная связность равна нулю (эквивалентность всех систем отсчета), и
• физическое уравнение общековариантно, то есть оно сохраняет свою форму при произвольном преобразовании координат (физическое содержание уравнений не зависит от выбора системы координат).

Если в результате преобразования координат зависимые от них переменные (функции координат) изменились по некоторому закону, то принцип общей ковариантности требует, чтобы новые функции от новых координат удовлетворяли уравнениям того же вида, что и старые функции от старых координат.

Принцип общей ковариантности и принцип эквивалентностиПравить

Предположим, что мы рассматриваем какое-нибудь уравнение, удовлетворяющее принципу общей ковариантности, в произвольном гравитационном поле. Уравнение общековариантно, то есть оно справедливо во всех системах координат, если оно справедливо в какой-либо системе координат. Но в любой данной точке имеется локально-инерциальная система координат, в которой гравитация отсутствует. Условие соответствия законам специальной теории относительности в отсутствие гравитации означает, что уравнение справедливо в локально-инерциальной системе координат и, в силу общей ковариантности, справедливо во всех других системах координат. Таким образом, принцип общей ковариантности вытекает из принципа эквивалентности.

Границы применимостиПравить

Только в малых областях можно находить системы координат, в которых, в силу принципа эквивалентности, отсутствуют эффекты гравитации. Поэтому принцип общей ковариантности применим только в масштабах, малых по сравнению с масштабами гравитационного поля.

Значение для общей теории относительностиПравить

Принцип общей ковариантности и требование соответствия закону тяготения Ньютона для слабых полей тяготения и медленных движений тяготеющих масс оказываются достаточными условиями для определения релятивистского закона тяготения общей теории относительности.

Математическое описаниеПравить

Общековариантными преобразованиями называются преобразования координат вида $x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\to <!--\; \to \; -->x^{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\prime }}$$x^{\mu }\to x^{\mu '}$  и операторов частных производных ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\prime }}=\underset{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\prime }}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$\partial _{\mu }\to \partial _{\mu '}=\sum _{\nu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\mu '}}}\partial _{\nu }$ . Эти преобразования задают группу симметрий общей теории относительности. Преобразования Лоренца являются частным случаем этих преобразований. Лагранжианы в общей теории относительности могут быть получены из лагранжианов специальной теории относительности заменой в них метрики Минковского на псевдориманову метрику $g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$g_{\mu \nu }$ , производных ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$\partial_\mu$  на ковариантные производные $D_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$D_{\nu }$  ($D_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}+{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$D_{\nu }\tau ^{\mu }=\partial _{\nu }\tau ^{\mu }+\Gamma _{\alpha \nu }^{\mu }\tau ^{\alpha }$ ) и элемента объёма $d^{4}x$$d^{4}x$  на $\sqrt{-<!--\; -\; -->g}{d}^{4}x$${\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ .

См. такжеПравить

• Лоренц-ковариантность
• Ковариантность и контравариантность (математика)

ЛитератураПравить

• Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения, 2-е изд.— М.: Наука.— 1961.— 568 с.
• Вейнберг С. «Гравитация и космология», Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 4 «Тензорный анализ», п. 1 «Принцип общей ковариантности», с. 106—109;
• Тредер В. А. Теория гравитации и принцип эквивалентности.— М.: Атомиздат.— 1973.— 169 с., УДК 53.02;
• Бергман П. Загадка гравитации., Пер. с англ. В. А. Угарова.— М.: Наука.— 1969.— 530.1 Б 48 УДК 530.12:531.51, гл. 2 «Общая теория относительности», п. 10 «Принцип общей ковариантности», с. 79—84;
• Иваненко Д.Д. , Сарданашвили ГА. Гравитация. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 200 с. — ISBN 5-354-00538-8.