Комплексная проективная плоскость

Запрос «Метрика Фубини — Штуди»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Комплексная проективная плоскость — двумерное комплексное проективное пространство^[en]; является двумерным комплексным многообразием, его вещественная размерность равна 4.

Обычно обозначается $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2$$\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$.

ПостроениеПравить

Точки на комплексной проективной плоскости и описывается однородными комплексными координатами

$(z_1,z_2,z_3)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^3,(z_1,z_2,z_3)\ne <!--\; \ne \; -->(0,0,0).$$(z_{1},z_{2},z_{3})\in \mathbb {C} ^{3},\qquad (z_{1},z_{2},z_{3})\neq (0,0,0).$ 

При этом тройки, отличающиеся на скаляр, считаются идентичными:

$(z_1,z_2,z_3)\equiv <!--\; \equiv \; -->(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{z}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{z}_2,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{z}_3);\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C},\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->0.$$(z_{1},z_{2},z_{3})\equiv (\lambda z_{1},\lambda z_{2},\lambda z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.$ 

ТопологияПравить

• $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2$$\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$  гомеоморфно фактору 5-мерной сферы ${\mathbb{S}}^5\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{C}}^3$$\mathbb {S} ^{5}\subset \mathbb {C} ^{3}$  по действию Хопфа ${\mathbb{S}}^1$${\mathbb S}^{1}$ .

• Числа Бетти:

  1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

• $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2$$\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$  односвязно, его фундаментальная группа тривиальна.
• Нетривиальными гомотопическими группами комплексной проективной плоскости являются

  ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_2\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_5\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2=\mathbb{Z}$$\pi _{2}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\pi _{5}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {Z}$ .

в старших размерностях, гомотопические группы те же, что у 5-мерной сферы.

Алгебраическая геометрияПравить

В бирациональной геометрии комплексная рациональная поверхность — это любая алгебраическая поверхность, бирационально эквивалентная комплексной проективной плоскости. Известно, что любое несингулярное рациональное многообразие получается из плоскости в результате последовательности преобразований раздутия и обратных им («стягиваний») кривых, которые должны быть очень специфичного вида. В качестве частного случая несингулярные комплексные поверхности второго порядка в P³ получаются из плоскости путём раздутия двух точек до кривых, а затем стягивание прямой через эти две точки. Обратные им преобразования можно видеть, если взять точку P на поверхности Q второго порядка, раздуть её, и спроектировать на обычную плоскость в P³ путём проведения прямых через P.

Группой бирациональных автоморфизмов комплексной проективной плоскости является группа Кремоны.

Дифференциальная геометрияПравить

Комплексная проективная плоскость есть 4-мерное многообразиее. Оно обладает естественной метрикой, так называемой метрикой метрикой Фубини — Штуди с 1/4-защеплённой секционной кривизной; то есть её максимальная секционная кривизна равна 4 а минимальная равна 1. Эта метрика инициируется на факторе $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2={\mathbb{S}}^5/{\mathbb{S}}^1$$\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {S} ^{5}/\mathbb {S} ^{1}$  по действию Хопфа ${\mathbb{S}}^1$${\mathbb S}^{1}$  на ${\mathbb{S}}^5$$\mathbb {S} ^{5}$ .

См. такжеПравить

• Поверхность дель Пеццо^[en]
• Торическая геометрия^[en]
• Фальшивая проективная плоскость

ЛитератураПравить

• П.С. Александров. Курс аналитической геометрии из линейной алгебры. — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1979. — С. 598.
• C. E. Springer. Geometry and Analysis of Projective Spaces. — W. H. Freeman and Company, 1964. — С. 140–3.
• М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 1999. — ISBN 5-93972-020-X.
• Weisstein, Eric W. Complex Projective Plane (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.