Рациональная поверхность

Рациональная поверхность — это поверхность, бирационально эквивалентная проективной плоскости, или, другими словами, рациональное многообразие^[en] размерности два. Рациональные поверхности являются простейшими из примерно 10 классов поверхностей классификации Энрикеса — Кодаиры комплексных поверхностей, и это были первые исследованные поверхности.

СтруктураПравить

Любую неособую рациональную поверхность можно получить путём неоднократного раздутия^[en] минимальной рациональной поверхности. Минимальными рациональными поверхностями являются проективная плоскость и поверхности Хирцебруха^[en] Σ_r для r = 0 или r ≥ 2.

Инварианты: Все плюрироды^[en] равны 0 и фундаментальная группа тривиальна.

Ромб Ходжа:

                 1
           0          0
      1        1+n        1,
           0          0
                 1

где n равен 0 для проективной плоскости, 1 для поверхностей Хирцебруха^[en] и больше 1 для других рациональных поверхностей.

Группа Пикара^[en] является нечётной унимодулярной решёткой I_1,n, за исключением поверхностей Хирцебруха^[en] Σ_2m, для которых это чётная унимодулярная решётка II_1,1.

Теорема КастельнуовоПравить

Гвидо Кастельнуово доказал, что любая комплексная поверхность, для которой q и P₂ (иррегулярность и второй плюрирод) равны нулю, является рациональной. Это используется в классификации Энрикеса — Кодаиры для распознавания рациональных поверхностей. Зарисский доказал, что теорема Кастельнуово верна также для полей положительной характеристики.

Из теоремы Кастельнуово следует также, что любая унирациональная^[en] комплексная поверхность рациональна. Большинство унирациональных комплексных многообразий размерности 3 и выше не являются рациональными. Для характеристики p > 0 Зарисский нашёл пример унирациональных поверхностей (поверхности Зарисского^[en]), не являющихся рациональными.

Одно время было неясно, являются комплексные поверхности с нулевыми q и P₁ рациональными или нет, но Федериго Энрикес нашёл контрпример (поверхность Энрикеса^[en]).

Примеры рациональных поверхностейПравить

• Поверхности Бордига^[en]: Вложение степени 6 проективной плоскости в P⁴, определённое 10 точками в общем положении.
• Поверхности Шатле^[en]
• Поверхности Кобла^[en]
• Кубические поверхности. Неособые кубические поверхности изоморфны раздутию проективной плоскости в 6 точках, и являются плоскостями Фано. Существуют именованные примеры — кубика Ферма, кубическая узловая поверхность Кэли^[en] и диагональная поверхность Клебша^[en].
• Поверхности дель Пеццо^[en] (поверхности Фано)
• Поверхность Эннепера
• Поверхности Хирцебруха^[en] Σ_n
• P¹×P¹. Произведение двух проективных прямых является поверхностью Хирцебруха Σ₀.
• Проективная плоскость
• Поверхность Сегре^[en]. Пересечение двух квадрик. Поверхность изоморфна проективной плоскости, раздутой в 5 точках.
• Поверхность Штайнера^[en]. Поверхность в P⁴ с особенностями, которая бирациональна проективной плоскости.
• Поверхности Вайта^[en], обобщение поверхностей Бордига.
• Поверхность Веронезе. Вложение проективной плоскости в P⁵.

См. такжеПравить

• Список алгебраических поверхностей^[en]

ЛитератураПравить

• Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Berlin: Springer-Verlag. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge). — ISBN 978-3-540-00832-3.
• Arnaud Beauville. Complex algebraic surfaces. — 2nd. — Cambridge University Press, 1996. — Т. 34. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-49510-3.
• Oscar Zariski. On Castelnuovo's criterion of rationality p_a = P₂ = 0 of an algebraic surface // Illinois Journal of Mathematics. — 1958. — Т. 2. — С. 303–315. — ISSN 0019-2082.