Секционная кривизна

Секционная кривизна — один из способов описания кривизны римановых многообразий.

ОпределениеПравить

Секционная кривизна — это функция $K(\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})$$K(\sigma )$ , которая зависит от секционного направления $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  в точке $p$$p$  (то есть двумерной плоскости в касательном пространстве в $p$$p$ ). Она равна гауссовой кривизне поверхности, образованной экспоненциальным отображением, измеренной в точке $p$$p$ .

СвойстваПравить

• Если $v,u$$v,\;u$  — два линейно независимых вектора в $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ , то

  $K(\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})=K(u,v)/|u\wedge <!--\; \wedge \; -->v{|}^2,$$K(\sigma )=K(u,\;v)/|u\wedge v|^{2},$  где $K(u,v)=⟨<!--\; ⟨\; -->R(u,v)v,u⟩<!--\; ⟩\; -->,$$K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle ,$ 

а $R(u,v)$$R(u,\;v)$  обозначает преобразование кривизны.

• • Эту формулу можно переписать следующим образом

    $K(\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})=\frac{⟨<!--\; ⟨\; -->R(u,v)v,u⟩<!--\; ⟩\; -->}{⟨<!--\; ⟨\; -->u,u⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->v,v⟩<!--\; ⟩\; -->-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->u,v{⟩<!--\; ⟩\; -->}^2}.$$K(\sigma )={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}.$ 

• Следующая формула показывает, что секционная кривизна описывает тензор кривизны полностью:

  $6\cdot <!--\; \cdot \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->R(u,v)w,z⟩<!--\; ⟩\; -->=$$6\cdot \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =$ 

  $[K(u+z,v+w)-<!--\; -\; -->K(u+z,v)-<!--\; -\; -->K(u+z,w)-<!--\; -\; -->K(u,v+w)-<!--\; -\; -->K(z,v+w)+K(u,w)+K(v,z)]-<!--\; -\; -->$$[K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)-K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-$ 

  $[K(u+w,v+z)-<!--\; -\; -->K(u+w,v)-<!--\; -\; -->K(u+w,z)-<!--\; -\; -->K(u,v+z)-<!--\; -\; -->K(w,v+z)+K(v,w)+K(u,z)].$$[K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)-K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].$ 

  • более простой форме, используя частные производные:

    $⟨<!--\; ⟨\; -->R(u,v)w,z⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{1}{6}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}s\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\left(K(u+sz,v+tw)-<!--\; -\; -->K(u+sw,v+tz)\right)|}_{(s,t)=(0,0)}.$$\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)=(0,\;0)}.$ 

• Теорема сравнения Топоногова приводит условие на углы треугольника в римановом многообразии эквивалентное ограниченности его секционной кривизны некоторой постоянной.