Площадь фигуры

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определенииПравить

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:

1. Положительность — площадь неотрицательна;
2. Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
3. Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
4. Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

• Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура $F$$F$  называется квадрируемой, если для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует пара многоугольников $P$$P$  и $Q$$Q$ , такие что $P\subset <!--\; \subset \; -->F\subset <!--\; \subset \; -->Q$$P\subset F\subset Q$  и $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ , где $S(P)$$S(P)$  обозначает площадь $P$$P$ .

Примеры квадрируемых фигур

• многоугольники;
• любая фигура, ограниченная спрямляемой кривой, в частности круг;
• фигура, ограниченная снежинкой Коха, хотя её граница не спрямляема.

Связанные определенияПравить

• Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

КомментарииПравить

• Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.
  • То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве (смотри соответственно парадокс удвоения шара и парадокс Хаусдорфа).

ФормулыПравить

 

Фигура	Формула	Комментарий
Правильный треугольник	$\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot <!--\; \cdot \; -->a^2$${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}{\cdot }a^{2}$	$a$$a$  — длина стороны треугольника.
Треугольник	$\sqrt{p\cdot <!--\; \cdot \; -->(p-<!--\; -\; -->a)\cdot <!--\; \cdot \; -->(p-<!--\; -\; -->b)\cdot <!--\; \cdot \; -->(p-<!--\; -\; -->c)}$${\sqrt {p{\cdot }(p-a){\cdot }(p-b){\cdot }(p-c)}}$	Формула Герона. $p$$p$  — полупериметр, $a$$a$ , $b$$b$  и $c$$c$  — длины сторон треугольника.
Треугольник	$\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->a\cdot <!--\; \cdot \; -->b\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }\sin \gamma$	$a$$a$  и $b$$b$  — две стороны треугольника, а $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  — угол между ними.
Треугольник	$\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->b\cdot <!--\; \cdot \; -->h$${\tfrac {1}{2}}{\cdot }b{\cdot }h$	$b$$b$  и $h$$h$  — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат	$a^2$$a^2$	$a$$a$  — длина стороны квадрата.
Прямоугольник	$a\cdot <!--\; \cdot \; -->b$$a{\cdot }b$	$a$$a$  и $b$$b$  — длины сторон прямоугольника.
Ромб	$a^2\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\frac{1}{2}bc$$a^{2}{\cdot }\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc$	$a$$a$  — сторона ромба, $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — внутренний угол, $b,c$$b,c$  — диагонали.
Параллелограмм	$b\cdot <!--\; \cdot \; -->h$$b{\cdot }h$	$b$$b$  — длина одной из сторон параллелограмма, а $h$$h$  — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция	$\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->(a+b)\cdot <!--\; \cdot \; -->h$${\tfrac {1}{2}}{\cdot }(a+b){\cdot }h$	$a$$a$  и $b$$b$  — длины параллельных сторон, а $h$$h$  — расстояние между ними (высота).
Четырёхугольник	$\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->m\cdot <!--\; \cdot \; -->n\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$${\tfrac {1}{2}}{\cdot }m{\cdot }n{\cdot }\sin \phi$	$n$$n$  и $m$$m$  — длины диагоналей, и $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  — угол между ними.
Правильный шестиугольник	$\frac{3\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt{3}}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->a^2$${\tfrac {3{\cdot }{\sqrt {3}}}{2}}{\cdot }a^{2}$	$a$$a$  — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник	$2\cdot <!--\; \cdot \; -->(1+\sqrt{2})\cdot <!--\; \cdot \; -->a^2$$2{\cdot }(1+{\sqrt {2}}){\cdot }a^{2}$	$a$$a$  — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник	$\frac{n\cdot <!--\; \cdot \; -->a^2}{4\cdot <!--\; \cdot \; -->\tan <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/n)}$${\frac {n{\cdot }a^{2}}{4{\cdot }\tan(\pi /n)}}$	$a$$a$  — длина стороны многоугольника, а $n$$n$  — количество сторон многоугольника.
$\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->a\cdot <!--\; \cdot \; -->p$${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }p$	$a$$a$  — апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а $p$$p$  — периметр многоугольника.
Произвольный многоугольник	${1 \over 2}\left|\sum _{i=0}^{n-1}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{pmatrix}}\right|$	Формула площади Гаусса. $(x_i,y_i)$$(x_{i},y_{i})$  — координаты вершин $n$$n$ -угольника, $(x_n,y_n)=(x_0,y_0)$$(x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0})$
Круг	$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->r^2$$\pi {\cdot }r^{2}$  или $\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->d^2}{4}$${\frac {\pi {\cdot }d^{2}}{4}}$	$r$$r$  — радиус окружности, а $d$$d$  — её диаметр.
Сектор круга	$\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->r^2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$${\tfrac {1}{2}}{\cdot }r^{2}{\cdot }\theta$	$r$$r$  и $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс	$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->a\cdot <!--\; \cdot \; -->b$$\pi {\cdot }a{\cdot }b$	$a$$a$  и $b$$b$  — большая и малая полуоси эллипса.

См. такжеПравить

• Исчезновение клетки
• Мера Бореля
• Мера Жордана
• Мера Лебега
• Ориентированная площадь
• Площадь
• Площадь поверхности
• Теорема Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников
• Треугольник о площадях треугольников
• Четырехугольник о площадях четырехугольников

ЛитератураПравить

• В. Болтянский, О понятиях площади и объёма. Архивная копия от 5 мая 2017 на Wayback Machine Квант, № 5, 1977
• Б. П. Гейдман, Площади многоугольников Архивная копия от 10 июня 2017 на Wayback Machine, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
• §§ 244—276 в А. П. Киселёв, Геометрия по Киселёву, arΧiv:1806.06942 [math.HO]. 
• Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.
• В. А. Рохлин, Площадь и объём Архивная копия от 11 апреля 2021 на Wayback Machine, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.