Ориентированная площадь

Ориентированная площадь — обобщение понятия площади, заключённой внутри замкнутой кривой на плоскости. В отличие от обычной площади, имеет знак.

ОпределениеПравить

Если на ориентированной плоскости расположена направленная замкнутая кривая $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$\ell$ , быть может с самопересечениями и налеганиями, то для каждой не лежащей на $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$\ell$  точки плоскости определена целочисленная функция (положительная, отрицательная или нулевая), называемая индексом точки относительно $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$\ell$ . Она показывает сколько раз и в какую сторону контур $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$\ell$  обходит данную точку. Интеграл по всей плоскости от этой функции, если он существует, называется охватываемой $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$\ell$  ориентированной площадью.

СвойстваПравить

Для ориентированной площади $S$$S$  заключённой внутри замкнутой ломаной $A_1\dots <!--\; \dots \; -->A_n$$A_{1}\dots A_{n}$  на плоскости выполняется равенство

$S\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{N}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{O{A}_1}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A_1{A}_2}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{O{A}_n}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A_n{A}_1},$$S\cdot {\vec {N}}={\vec {OA_{1}}}\times {\vec {A_{1}A_{2}}}+\dots +{\vec {OA_{n}}}\times {\vec {A_{n}A_{1}}},$ 

где $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{N}$${\vec N}$  обозначает единичный вектор нормали к плоскости и $\times <!--\; \times \; -->$$\times$  — векторное произведение.

ЛитератураПравить

• Лопшиц А. М., Вычисление площадей ориентированных фигур, М., 1956;