Радиан

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС.

Радиан
рад
1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности
Величина	величина угла
Система	СИ
Тип	основная
Медиафайлы на Викискладе

Некоторые важные углы, измеренные в радианах. Все многоугольники, изображённые на диаграммах, — правильные

Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану. Из определения следует, что величина полного угла равна 2π радиан (см. рис. справа).

Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла.

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.

Радиан в Международной системе единиц (СИ)Править

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad.

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду.

Кратные и дольные единицыПравить

Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.

Кратные	Дольные
величина	название	обозначение	величина	название	обозначение
101 рад	декарадиан	дарад	darad	10−1 рад	децирадиан	драд	drad
102 рад	гекторадиан	град	hrad	10−2 рад	сантирадиан	срад	crad
103 рад	килорадиан	крад	krad	10−3 рад	миллирадиан	мрад	mrad
106 рад	мегарадиан	Мрад	Mrad	10−6 рад	микрорадиан	мкрад	µrad
109 рад	гигарадиан	Град	Grad	10−9 рад	нанорадиан	нрад	nrad
1012 рад	терарадиан	Трад	Trad	10−12 рад	пикорадиан	прад	prad
1015 рад	петарадиан	Прад	Prad	10−15 рад	фемторадиан	фрад	frad
1018 рад	эксарадиан	Эрад	Erad	10−18 рад	атторадиан	арад	arad
1021 рад	зеттарадиан	Зрад	Zrad	10−21 рад	зепторадиан	зрад	zrad
1024 рад	иоттарадиан	Ирад	Yrad	10−24 рад	иокторадиан	ирад	yrad
1027 рад	роннарадиан	Ррад	Rrad	10−27 рад	ронторадиан	ррад	rrad
1030 рад	кветтарадиан	Кврад	Qrad	10−30 рад	квекторадиан	кврад	qrad
рекомендовано к применению      применять не рекомендуется      не применяются или редко применяются на практике

Связь радиана с другими единицамиПравить

 

Угол в 1 радиан.

Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

• 1 радиан = 1/(2π) оборотов = 180/π градусов = 200/π градов.

Очевидно, развернутый угол равен ${180}^{\circ <!--\; \circ \; -->},$$180^{\circ },$  или $\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->r}{r}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$${\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi$  радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

a[°] = α[рад] × (360° / (2π)) или α[рад] × (180° / π),

α[рад] = a[°] : (180° / π) = a[°] × (π / 180°),

где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах.

1 рад (или ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\rho ^{\circ }$ ) = $\frac{{360}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{57,295}{779513}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->{57}^{\circ <!--\; \circ \; -->}{17}^{\prime }{\mathrm{44,806}}^{″}$${\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''$ (мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\prime }$$\rho'$  (или 1 рад в минутах) = $\frac{{360}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{60}^{\prime }}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\approx <!--\; \approx \; -->{\mathrm{3437,747}}^{\prime }$${\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\approx 3437{,}747'$ 

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{″}$$\rho ''$  (или 1 рад в секундах) = $\frac{{360}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{60}^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->{60}^{″}}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\approx <!--\; \approx \; -->206264,8^{″}.$${\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\approx 206264{,}8''.$ 

 

Номограмма для перевода радианы/градусы.

В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$$\rho _{\prime \prime }$  (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = $\frac{400\cdot <!--\; \cdot \; -->100\cdot <!--\; \cdot \; -->100}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}=636620.$${\frac {400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}=636620.$ 
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.

Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа ($\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$\mathrm {rad}$ ) делаем именованное (${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\circ <!--\; \circ \; -->},{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\prime },{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{″}$$\rho ^{\circ },\rho ',\rho ''$ ) и поэтому должны множить на ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}($$\rho ^{\circ }~($ или ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\prime },{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{″})$$\rho ',\rho '')$ ;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}($$\rho ^{\circ }~($ или ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\prime },{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{″}),$$\rho ',\rho ''),$  либо же умножать на перевёрнутую дробь $\frac{1}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}(\frac{1}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\prime }},\frac{1}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{″}}).$${\frac {1}{\rho ^{\circ }}}~({\frac {1}{\rho '}},{\frac {1}{\rho ''}}).$ 

Пример 1. Перевести в радианы $5^{\circ <!--\; \circ \; -->}{43}^{\prime }{46}^{″}.$$5^\circ43'46''.$ 

$\mathit{\alpha <!--\; \alpha \; -->}[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}]\eqcirc <!--\; \eqcirc \; -->5^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{5^{\circ <!--\; \circ \; -->}}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}=\mathrm{0,087}{2}_6$${\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {\rho ^{\circ }}}}~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}$ 

${43}^{\prime }=\frac{{43}^{\prime }}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\prime }}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}=\mathrm{0,012}{5}_{08}$$43'={\frac {43'}{\rho '}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}$ 

${46}^{″}=\frac{{46}^{″}}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{″}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}=\mathrm{0,000}{2}_{23}$$46''={\frac {46''}{\rho ''}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}$ 

$\sum <!--\; \sum \; -->\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,099}{9}_9\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$\sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad}$  $=0,1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$=0{,}1~\mathrm {rad}$ 

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}:$$\rho ^{\circ }:$  (как правило, этот способ более точен)

${46}^{″}=\frac{{46}^{″}}{{60}^{″}}=0,{\mathbf{77}}^{\prime }$$46'' = \frac{46''}{60''} = 0{,}\boldsymbol{77}'$ 

$43,{\mathbf{77}}^{\prime }=\frac{43,{77}^{\prime }}{{60}^{\prime }}=0,{\mathbf{7295}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$43{,}\boldsymbol{77}' = \frac{43{,}77'}{60'} = 0{,}\boldsymbol{7295}^\circ$ 

$\sum <!--\; \sum \; -->=5,{\mathbf{7295}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }$ 

$\mathrm{5,729}{5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=\frac{\mathrm{5,729}{5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}=\frac{\mathrm{5,729}{5}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}{{\mathrm{57,295}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}=0,1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$$5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\rho ^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad}$ 

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.

$a{[}^{\circ <!--\; \circ \; -->}]\eqcirc <!--\; \eqcirc \; -->1\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{{360}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}=1\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{57,295}{78}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=57,{\mathbf{29578}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }$ 

$0,{\mathbf{29578}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{60}^{\prime }=17,{\mathbf{7468}}^{\prime }$$0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60'=17{,}{\boldsymbol {7468}}'$ 

$0,{\mathbf{7468}}^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->{60}^{″}={\mathrm{44,807}}^{″}\approx <!--\; \approx \; -->{45}^{″}$$0{,}{\boldsymbol {7468}}'\cdot 60''=44{,}807''\approx 45''$ 

Итого $\approx <!--\; \approx \; -->{57}^{\circ <!--\; \circ \; -->}{17}^{\prime }{45}^{″}.$$\approx 57^{\circ }17'45''.$ 

Таблица градусов, радиан и градПравить

Таблица углов

Угол, в долях от полного	Градусы	Радианы	Грады	Синус	Косинус	Тангенс
$0$$0$	$0^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$0^{\circ }$	$0$$0$	$0^{\mathrm{g}}$$0^{\mathrm {g} }$	$0$$0$	$1$$1$	$0$$0$
$\frac{1}{24}$${\frac {1}{24}}$	${15}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$15^{\circ }$	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{12}$${\frac {\pi }{12}}$	$33{\frac{1}{3}}^{\mathrm{g}}$$33{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-<!--\; -\; -->1)$${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$2-<!--\; -\; -->\sqrt{3}$$2-\sqrt{3}$
$\frac{1}{12}$${\frac {1}{12}}$	${30}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$30^{\circ }$	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6}$${\frac {\pi }{6}}$	$16{\frac{2}{3}}^{\mathrm{g}}$$16{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{1}{2}$${\frac {1}{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{1}{8}$${\frac {1}{8}}$	${45}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$45^{\circ }$	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}$${\frac {\pi }{4}}$	${50}^{\mathrm{g}}$$50^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$$1$
$\frac{1}{6}$${\frac {1}{6}}$	${60}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$60^{\circ }$	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}$${\frac {\pi }{3}}$	$66{\frac{2}{3}}^{\mathrm{g}}$$66{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$${\frac {1}{2}}$	$\sqrt{3}$$\sqrt{3}$
$\frac{5}{24}$${\frac {5}{24}}$	${75}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$75^{\circ }$	$\frac{5\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{12}$${\frac {5\pi }{12}}$	$88{\frac{1}{3}}^{\mathrm{g}}$$88{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-<!--\; -\; -->1)$${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$2+\sqrt{3}$$2+{\sqrt {3}}$
$\frac{1}{4}$${\frac {1}{4}}$	${90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$90^{\circ }$	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}$${\frac {\pi }{2}}$	${100}^{\mathrm{g}}$$100^{\mathrm {g} }$	$1$$1$	$0$$0$	не определён
$\frac{7}{24}$${\frac {7}{24}}$	${105}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$105^{\circ }$	$\frac{7\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{12}$${\frac {7\pi }{12}}$	$116{\frac{2}{3}}^{\mathrm{g}}$$116{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-<!--\; -\; -->1)$$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->\sqrt{3}$$-2-{\sqrt {3}}$
$\frac{1}{3}$${\frac {1}{3}}$	${120}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$120^{\circ }$	$\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}$${\frac {2\pi }{3}}$	$133{\frac{1}{3}}^{\mathrm{g}}$$133{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$	$-<!--\; -\; -->\sqrt{3}$$-\sqrt{3}$
$\frac{3}{8}$${\frac {3}{8}}$	${135}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$135^{\circ }$	$\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}$${\frac {3\pi }{4}}$	${150}^{\mathrm{g}}$$150^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{2}}{2}$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-<!--\; -\; -->1$$-1$
$\frac{5}{12}$${\frac {5}{12}}$	${150}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$150^{\circ }$	$\frac{5\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6}$${\frac {5\pi }{6}}$	$166{\frac{2}{3}}^{\mathrm{g}}$$166{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{1}{2}$${\frac {1}{2}}$	$-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{3}}{3}$$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{11}{24}$${\frac {11}{24}}$	${165}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$165^{\circ }$	$\frac{11\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{12}$${\frac {11\pi }{12}}$	$183{\frac{1}{3}}^{\mathrm{g}}$$183{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-<!--\; -\; -->1)$${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-<!--\; -\; -->2+\sqrt{3}$$-2+{\sqrt {3}}$
$\frac{1}{2}$${\frac {1}{2}}$	${180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$180^{\circ }$	$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$	${200}^{\mathrm{g}}$$200^{\mathrm {g} }$	$0$$0$	$-<!--\; -\; -->1$$-1$	$0$$0$
$\frac{7}{12}$${\frac {7}{12}}$	${210}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$210^{\circ }$	$\frac{7\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6}$${\frac {7\pi }{6}}$	$233{\frac{1}{3}}^{\mathrm{g}}$$233{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$	$-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{5}{8}$${\dfrac {5}{8}}$	${225}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$225^{\circ }$	$\frac{5\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}$${\dfrac {5\pi }{4}}$	${250}^{\mathrm{g}}$$250^{\mathrm {g} }$	$-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{2}}{2}$$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{2}}{2}$$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$$1$
$\frac{2}{3}$${\frac {2}{3}}$	${240}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$240^{\circ }$	$\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}$${\frac {4\pi }{3}}$	$266{\frac{2}{3}}^{\mathrm{g}}$$266{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$$\sqrt{3}$
$\frac{3}{4}$${\frac {3}{4}}$	${270}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$270^{\circ }$	$\frac{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}$${\frac {3\pi }{2}}$	${300}^{\mathrm{g}}$$300^{\mathrm {g} }$	$-<!--\; -\; -->1$$-1$	$0$$0$	не определён
$\frac{5}{6}$${\frac {5}{6}}$	${300}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$300^{\circ }$	$\frac{5\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}$${\frac {5\pi }{3}}$	$333{\frac{1}{3}}^{\mathrm{g}}$$333{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$${\frac {1}{2}}$	$-<!--\; -\; -->\sqrt{3}$$-\sqrt{3}$
$\frac{7}{8}$${\frac {7}{8}}$	${315}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$315^{\circ }$	$\frac{7\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}$${\frac {7\pi }{4}}$	${350}^{\mathrm{g}}$$350^{\mathrm {g} }$	$-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{2}}{2}$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-<!--\; -\; -->1$$-1$
$\frac{11}{12}$${\frac {11}{12}}$	${330}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$330^{\circ }$	$\frac{11\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6}$${\frac {11\pi }{6}}$	$366{\frac{2}{3}}^{\mathrm{g}}$$366{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{3}}{3}$$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$1$$1$	${360}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$360^{\circ }$	$2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$	${400}^{\mathrm{g}}$$400^{\mathrm {g} }$	$0$$0$	$1$$1$	$0$$0$

Радианная мера в математическом анализеПравить

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее $0,1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(5^{\circ <!--\; \circ \; -->}{43}^{\prime },77)$$0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)$ , приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше $0,01\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(0^{\circ <!--\; \circ \; -->}{34}^{\prime },38)$$0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)$ , — то до шестого знака после запятой:

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}.$$\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\,\alpha \approx \alpha.$ 

ИсторияПравить

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы.

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан».

См. такжеПравить

• Град, минута, секунда
• Градус, минута, секунда
• Оборот (единица измерения)
• Парсек
• Стерадиан
• Тысячная (угол)

ЛитератураПравить

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с.
• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A.  (англ.). — New York: Dover Publications, 1972. — ISBN 0-486-61272-4.