Ромб

Ромб (др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus, в буквальном переводе: «бубен») — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

ЭтимологияПравить

Термин «ромб» происходит от др.-греч. ῥόμβος — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Поэтому название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

СвойстваПравить

1. Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
5. Середины четырех сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
6. Диагонали ромба являются перпендикулярными осями его симметрии.
7. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

ПризнакиПравить

Параллелограмм $ABCD$$ABCD$  является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны, $AB=BC=CD=AD$$AB=BC=CD=AD$ ).
2. Его диагонали пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD).
3. Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам.

Предположим, что заранее не известно, что четырёхугольник является параллелограммом, но дано, что все его стороны равны. Тогда этот четырёхугольник есть ромб.

Квадрат как частный случай ромбаПравить

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов.

Уравнение ромбаПравить

 

К уравнению ромба

Уравнение ромба с центром в точке $\{x_0,y_0\}$$\{x_{0},y_{0}\}$  и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде:

$\frac{|x-<!--\; -\; -->x_0|}{a}+\frac{|y-<!--\; -\; -->y_0|}{b}=1,$${\frac {|x-x_{0}|}{a}}+{\frac {|y-y_{0}|}{b}}=1,$ 

где $a,b$$a,b$  — половины длин диагоналей ромба по осям $X,Y$$X,Y$  соответственно.

Длина стороны ромба равна $\sqrt{a^2+b^2}.$${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$  Площадь ромба равна $2ab.$$2ab.$  Левый угол ромба рассчитывается по формуле:

$2\mathrm{arctg}<!--\; \; -->\frac{b}{a}$$2\operatorname {arctg} {\frac {b}{a}}$ 

Второй угол дополняет его до 180°.

В случае a = b уравнение отображает повёрнутый на 45° квадрат:

$|x-<!--\; -\; -->x_0|+|y-<!--\; -\; -->y_0|=a,$$|x-x_{0}|+|y-y_{0}|=a,$ 

где сторона квадрата равна $a\sqrt{2},$$a{\sqrt {2}},$  а его диагональ равна $2a.$$2a.$  Соответственно площадь квадрата равна $2a^2.$$2a^{2}.$ 

Из уравнения видно, что ромб можно рассматривать как суперэллипс степени 1.

Площадь ромбаПравить

 

• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

$S=\frac{AC\cdot <!--\; \cdot \; -->BD}{2}$$S={\dfrac {AC\cdot BD}{2}}$ 

• Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

$S=a\cdot <!--\; \cdot \; -->h_a$$S=a\cdot h_{a}$ 

• Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

$S=a^2\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$S=a^{2}\cdot \sin \alpha$ ,

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — угол между двумя смежными сторонами ромба.

• Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ :

$S=\frac{4r^2}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}};$$S={\dfrac {4r^{2}}{\sin \alpha }};$ 

• Площадь ромба равна удвоенному произведению стороны и радиуса вписанной окружности:

$S=2ar.$$S=2ar.$ 

Радиус вписанной окружностиПравить

Радиус вписанной окружности r может быть выражен через диагонали p и q в виде:

$r=\frac{p\cdot <!--\; \cdot \; -->q}{2\sqrt{p^2+q^2}}.$$r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}.$ 

В геральдикеПравить

Ромб является простой геральдической фигурой.

•  

  Червлёный ромб в серебряном поле

•  

  В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1

•  

  Просверленный червлёный ромб в серебряном поле

•  

  В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

СимметрияПравить

Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

•  

  Ромбический орнамент

•  

  Ромбические звёзды

•  

  Более сложный орнамент

•  

  Мозаика Пенроуза

См. другие примеры на Викискладе.

См. такжеПравить

• Дельтоид
• Звезда (геометрия)
• Ромбододекаэдр
• Ромбоид

ЛитератураПравить

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.