Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος «параллельный» + γραμμή «линия») — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. (См. другие определения )

Параллелограмм

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

СвойстваПравить

 

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.

 

Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°

• Противолежащие стороны параллелограмма равны.
• Противолежащие углы параллелограмма равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
• Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:

  $\left|AO\right|=\left|OC\right|,\left|BO\right|=\left|OD\right|$$\left|AO\right|=\left|OC\right|,\left|BO\right|=\left|OD\right|$ .

• Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
• Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
• Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
• Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть

$a$$a$  — длина стороны $AB$$AB$ ,

$b$$b$  — длина стороны $BC$$BC$ ,

$d_1$$d_{1}$  и $d_2$$d_{2}$  — длины диагоналей; тогда

$d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2).$$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).$ 

Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

• Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограммаПравить

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

1. У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: $AB=CD,AB\parallel <!--\; \parallel \; -->CD$$AB=CD,AB\parallel CD$ .
2. Все противоположные углы попарно равны: $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}C,\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}D$$\angle A=\angle C,\angle B=\angle D$ .
3. У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: $AB=CD,BC=DA$$AB = CD, BC=DA$ .
4. Все противоположные стороны попарно параллельны: $AB\parallel <!--\; \parallel \; -->CD,BC\parallel <!--\; \parallel \; -->DA$$AB \parallel CD, BC \parallel DA$ .
5. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: $AO=OC,BO=OD$$AO=OC,BO=OD$ .
6. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: $A{C}^2+B{D}^2=A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2+D{A}^2$$AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}$ .

Площадь параллелограммаПравить

Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

$S=ah$$S=ah$  , где $a$$a$  — сторона, $h$$h$  — высота, проведённая к этой стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон и синуса угла между ними:

$S=ab\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},$$S=ab\sin \alpha ,$ 

где $a$$a$  и $b$$b$  — стороны, а $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — угол между сторонами $a$$a$  и $b$$b$ .

Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны $a,b$$a,\ b$  и длину любой из диагоналей $d$$d$  по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:

$S=2\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt{p(p-<!--\; -\; -->a)(p-<!--\; -\; -->b)(p-<!--\; -\; -->d)}$$S=2\cdot {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-d)}}$ 

где $p=(a+b+d)/2.$$p=(a+b+d)/2.$ 

См. такжеПравить

• Параллелепипед
• Прямоугольник
• Ромбоид
• Параллелограмм Вариньона
• Теорема Тебо 1