Интегральные преобразования

Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

Интегральные преобразования задаются формулой

$Tf(u)=\underset{S}{\int <!--\; \int \; -->}K(t,u)f(t)dt$$Tf(u)=\int \limits _{{S}}K(t,u)\,f(t)\,dt$,

где функции $f,Tf$$f,Tf$ называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства $L$$L$, при этом функция $K$$K$ называется ядром интегрального преобразования.

Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:

$f(t)=\underset{S^{\prime }}{\int <!--\; \int \; -->}{K}^{-<!--\; -\; -->1}(u,t)(Tf(u))du.$$f(t)=\int \limits _{{S'}}K^{{-1}}(u,t)\,(Tf(u))\,du.$

Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.

Таблица преобразований (одномерный случай)Править

Если интегральное преобразование и его обращение заданы формулами

$Tf(u)=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int <!--\; \int \; -->}}K(t,u)f(t)dt$$Tf(u)=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}K(t,u)\,f(t)\,dt$ ,

$f(t)=\underset{u_1}{\overset{u_2}{\int <!--\; \int \; -->}}{K}^{-<!--\; -\; -->1}(u,t)(Tf(u))du$$f(t)=\int \limits _{{u_{1}}}^{{u_{2}}}K^{{-1}}(u,t)\,(Tf(u))\,du$ ,

то:

Таблица интегральных преобразований (одномерный случай)

Преобразование	Обозначение	$K$$K$	t1	t2	$K^{-<!--\; -\; -->1}$$K^{{-1}}$	u1	u2
Преобразование Фурье	$\mathcal{F}$${\mathcal {F}}$	$\frac{e^{-<!--\; -\; -->iut}}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$${\frac {e^{{-iut}}}{{\sqrt {2\pi }}}}$	$-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$	$\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$${\frac {e^{{+iut}}}{{\sqrt {2\pi }}}}$	$-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$
Синус-преобразование Фурье	${\mathcal{F}}_s$${\mathcal {F}}_{s}$	$\frac{\sqrt{2}\sin <!--\; \; -->(ut)}{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}{{\sqrt {\pi }}}}$	$0$$0$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$	$\frac{\sqrt{2}\sin <!--\; \; -->(ut)}{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}{{\sqrt {\pi }}}}$	$0$$0$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$
Косинус-преобразование Фурье	${\mathcal{F}}_c$${\mathcal {F}}_{c}$	$\frac{\sqrt{2}\cos <!--\; \; -->(ut)}{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}{{\sqrt {\pi }}}}$	$0$$0$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$	$\frac{\sqrt{2}\cos <!--\; \; -->(ut)}{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}{{\sqrt {\pi }}}}$	$0$$0$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$
Преобразование Хартли	$\mathcal{H}$${\mathcal {H}}$	$\frac{\cos <!--\; \; -->(ut)+\sin <!--\; \; -->(ut)}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{{\sqrt {2\pi }}}}$	$-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$	$\frac{\cos <!--\; \; -->(ut)+\sin <!--\; \; -->(ut)}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{{\sqrt {2\pi }}}}$	$-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$
Преобразование Меллина	$\mathcal{M}$${\mathcal {M}}$	$t^{u-<!--\; -\; -->1}$$t^{u-1}$	$0$$0$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$	$\frac{t^{-<!--\; -\; -->u}}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}$${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}$	$c-<!--\; -\; -->i\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$c\!-\!i\infty$	$c+i\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$c\!+\!i\infty$
Двустороннее преобразование Лапласа	$\mathcal{B}$${\mathcal {B}}$	$e^{-<!--\; -\; -->ut}$$e^{-ut}$	$-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$	$\frac{e^{+ut}}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}$${\frac {e^{{+ut}}}{2\pi i}}$	$c-<!--\; -\; -->i\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$c\!-\!i\infty$	$c+i\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$c\!+\!i\infty$
Преобразование Лапласа	$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$	$e^{-<!--\; -\; -->ut}$$e^{-ut}$	$0$$0$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$	$\frac{e^{+ut}}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}$${\frac {e^{{+ut}}}{2\pi i}}$	$c-<!--\; -\; -->i\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$c\!-\!i\infty$	$c+i\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$c\!+\!i\infty$
Преобразование Вейерштрасса	$\mathcal{W}$${\mathcal {W}}$	$\frac{e^{-<!--\; -\; -->(u-<!--\; -\; -->t{)}^2/4}}{\sqrt{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$${\frac {e^{-(u-t)^{2}/4}}{\sqrt {4\pi }}}$	$-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$	$\frac{e^{+(u-<!--\; -\; -->t{)}^2/4}}{i\sqrt{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$${\frac {e^{{+(u-t)^{2}/4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c-<!--\; -\; -->i\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$c\!-\!i\infty$	$c+i\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$c\!+\!i\infty$
Преобразование Ханкеля		$t{J}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(ut)$$t\,J_{\nu }(ut)$	$0$$0$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$	$u{J}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(ut)$$u\,J_{\nu }(ut)$	$0$$0$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$
Интегральное преобразование Абеля		$\frac{2t}{\sqrt{t^2-<!--\; -\; -->u^2}}$${\frac {2t}{{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$	$u$$u$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$	$\frac{-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{u^2-<!--\; -\; -->t^2}}\frac{d}{du}$${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$	$t$$t$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$
Преобразование Гильберта	$\mathcal{H}il$${\mathcal {H}}il$	$\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\frac{1}{u-<!--\; -\; -->t}$${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$	$-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\frac{1}{u-<!--\; -\; -->t}$$-{\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$	$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$
Ядро Пуассона		$\frac{1-<!--\; -\; -->r^2}{1-<!--\; -\; -->2r\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+r^2}$${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$	$0$$0$	$2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$
Идентичное преобразование		$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(u-<!--\; -\; -->t)$$\delta (u-t)$	$t_{1}<u$	$t_2>u$$t_{2}>u$	$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->u)$$\delta (t-u)$	$u_{1}\!<\!t$	$u_2>t$$u_{2}\!>\!t$

Список интегральных преобразованийПравить

• Интегральное преобразование Абеля
• Преобразования Бесселя
• Преобразование Бушмана
• Преобразование Бэйтмена
• Преобразование Вейерштрасса
• Преобразование Ханкеля
• Преобразование Гегенбауэра
• Преобразование Гильберта
• Преобразование Конторовича — Лебедева
• Одностороннее преобразование Лапласа
• Двустороннее преобразование Лапласа
• Преобразование Мейера
• Преобразование Мелера — Фока
• Преобразование Меллина
• Преобразование Нерейна
• Преобразование Радона
• Преобразование Стилтьеса
• Преобразование Фурье
• Преобразование Хартли
• Преобразование Лагерра
• S-преобразование

ЛитератураПравить

• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Физмагиз, 1961.

См. такжеПравить

• Дискретные преобразования

СсылкиПравить

• Таблицы интегральных преобразований на EqWorld: МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.