Преобразование Радона

Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917 года.

Важнейшее свойство преобразования Радона — обратимость, то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона.

Двумерное преобразование РадонаПравить

 

Двумерное преобразование Радона. В данном случае R(s,α) есть интеграл от f(x, y) вдоль прямой AA^'

Рассмотрение преобразования Радона удобно начать с простейшего случая функции двух переменных, к тому же, именно этот случай наиболее практически важен.

Пусть $f(x,y)$$f(x,y)$  функция двух действительных переменных, определённая на всей плоскости и достаточно быстро убывающая на бесконечности (так, чтобы соответствующие несобственные интегралы сходились). Тогда преобразованием Радона функции $f(x,y)$$f(x,y)$  называется функция

$R(s,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(s\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->z\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},s\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+z\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})dz$$R(s,\alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(s\cos \alpha -z\sin \alpha ,s\sin \alpha +z\cos \alpha )dz$  (1)

Преобразование Радона имеет простой геометрический смысл — это интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной вектору $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}=(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$${\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$  и проходящей на расстоянии $s$$s$  (измеренного вдоль вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}$${\vec {n}}$ , с соответствующим знаком) от начала координат.

Связь преобразования Радона и преобразования Фурье. Формула обращенияПравить

Рассмотрим двумерное преобразование Фурье от функции $f(x,y)$$f(x,y)$ 

$F(k_x,k_y)=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x,y)e^{-<!--\; -\; -->i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy$$F(k_{x},k_{y})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy$  (2)

Можно заметить, что показатель экспоненты в этом интеграле не изменяется, если мы двигаемся вдоль прямой, перпендикулярной вектору $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}=(k_x,k_y)$${\vec {k}}=(k_{x},k_{y})$ , и изменяется наиболее быстро, если мы движемся вдоль этого вектора. Поэтому удобно перейти к новым переменным. Обозначим $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}=(k_x,k_y)=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$${\vec {k}}=(k_{x},k_{y})=\omega (\cos \alpha ,\sin \alpha )$ , мы выберем новые переменные $s=x\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+y\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},$$s=x\cos \alpha +y\sin \alpha ,$  $z=-<!--\; -\; -->x\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+y\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$z=-x\sin \alpha +y\cos \alpha$ . Сделав замену переменных в интеграле, получаем

$F(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(s\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->z\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},s\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+z\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}s}dz\right)ds$$F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(s\cos \alpha -z\sin \alpha ,s\sin \alpha +z\cos \alpha )e^{-i\omega s}dz\right)ds$ 

то есть

$F(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}s}R(s,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})ds$$F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega s}R(s,\alpha )ds$  (3)

Таким образом, одномерное преобразование Фурье от преобразования Радона для функции $f(x,y)$$f(x,y)$  есть не что иное как двумерное преобразование Фурье от функции $f(x,y)$$f(x,y)$ .

Поскольку преобразование Фурье функции $f(x,y)$$f(x,y)$  существует (это необходимое исходное допущение), то существует и обратное преобразование Фурье от функции $F(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )$ . Учитывая (3), можно заключить, что должно существовать и обратное преобразование Радона.

Формула обращения для двумерного преобразования Фурье, как известно, выглядит следующим образом

$f(x,y)=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}F(k_x,k_y)e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}d{k}_{x}d{k}_y.$$f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}.$ 

Удобно переписать эту формулу в полярных координатах:

$f(x,y)=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(x\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+y\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}F(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}d\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^{2\pi }e^{i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )\omega d\alpha d\omega$ ,

что, учитывая (3), даёт формулу обратного преобразования Радона:

$f(x,y)=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(x\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+y\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{R}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}d\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\infty }e^{i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}\ {\tilde {R}}(\omega ,\alpha )\omega d\omega d\alpha$  (4),

где $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{R}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}R(s,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}s}ds$${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds$ .

Выражение (4), помимо того что является одним из вариантов записи обратного преобразования Радона, также определяет метод реконструкции $f(x,y)$$f(x,y)$  из её проекций $R(s,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i)$$R(s,\alpha _{i})$ , называемый специалистами методом Фурье-синтеза. Таким образом, в методе Фурье-синтеза сначала необходимо сформировать из большого количества одномерных Фурье-образов проекций по полярной сетке $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{R}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i)$${\tilde {R}}(\omega ,\alpha _{i})$  двумерный спектр $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{R}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )$  (при этом используется теорема о центральном сечении), а затем выполнить обратное двумерное преобразование Фурье в полярной системе координат от $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{R}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )$ . Существуют и другие методы реконструкции $f(x,y)$$f(x,y)$  из $R(s,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$R(s,\alpha )$ 

Теорема о центральном сеченииПравить

Применим операцию прямого преобразования Фурье к преобразованию Радона от $f(x,y)$$f(x,y)$ : $\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}R(s,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}s}ds=$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds=$  $\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x,y)\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(s-<!--\; -\; -->x\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->y\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})dxdy\right)e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}s}ds$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (s-x\cos \alpha -y\sin \alpha )dxdy\right)e^{-i\omega s}ds$ 

Перестановка порядка интегрирования и применение фильтрующего свойства дельта функции приводят к формулировке теоремы о центральном сечении: $\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}R(s,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}s}ds=$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds=$  $\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}s}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(s-<!--\; -\; -->x\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->y\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})ds\right)f(x,y)dxdy=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x,y)e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(x\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+y\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}dxdy$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega s}\delta (s-x\cos \alpha -y\sin \alpha )ds\right)f(x,y)dxdy=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}dxdy$ 

Из последнего равенства, в частности, следует, что Фурье-образ проекции $R(s,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$R(s,\alpha )$  представляет собой спектр функции $f(x,y)$$f(x,y)$  вдоль прямой, проходящей через начало координат в частотной плоскости под углом $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2$$\alpha +\pi /2$ . Таким образом, Фурье-образ проекции является центральным сечением двумерного Фурье-образа функции $f(x,y)$$f(x,y)$ . В литературе это свойство называют теоремой о центральном слое или центральном сечении.

Применение преобразования РадонаПравить

 

Схема получения рентгеновской томограммы

В компьютерной рентгеновской томографии линейка детекторов измеряет поглощение исследуемым объектом параллельного пучка излучения (например, рентгеновских лучей в медицинской томографии, сейсмических волн в геофизической томографии). В соответствии с законом Бугера-Ламберта-Бера интенсивность излучения, измеряемая детектором в точке s линейки пропорциональна $\exp <!--\; \; -->\left\{-<!--\; -\; -->\underset{A{A}^{\prime }}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x,y)dz\right\}$$\exp \left\{-\int \limits _{AA'}\rho (x,y)dz\right\}$ , где $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x,y)$$\rho (x,y)$  показатель поглощения вещества объекта для данного типа излучения, а интеграл берётся вдоль прямой $A{A}^{\prime }$$AA'$ , проходящей через данный детектор и перпендикулярной линейке детекторов (z — координата на этой прямой). Соответственно, логарифм от интенсивности, взятый с обратным знаком, даёт преобразование Радона от показателя поглощения. Вращая систему из источника излучения и детектора вокруг объекта (при этом оставаясь в одной плоскости), или вращая сам объект вокруг оси, перпендикулярной плоскости, показанной на рисунке, получают множество луч-сумм в выбранном срезе объекта. Затем, используя один из методов реконструкции, можно восстановить распределение показателя поглощения в любой точке прозондированной плоскости объекта.

Преобразования Радона подобным образом используются и в магнито-резонансной томографии.

Преобразование Радона для функции произвольного числа переменныхПравить

Преобразование Радона для функции двух переменных можно удобно переписать через интеграл по всему пространству с помощью дельта-функции Дирака:

$R(s,\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n})=\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}-<!--\; -\; -->s)f(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$$R(s,{\vec {n}})=\int \delta ({\vec {n}}{\vec {r}}-s)f({\vec {r}})d{\vec {r}}$  (2)

Здесь $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}=(x,y)$${\vec {r}}=(x,y)$  — радиус-вектор из начала координат, $d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}=dxdy$$d{\vec {r}}=dxdy$  — двумерный элемент объёма, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}$${\vec {n}}$  — единичный вектор, который можно параметризовать как $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}=(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$${\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ . С помощью замены переменных легко убедиться, что определения преобразования Радона (1) и (2) полностью идентичны.

Формула (2) обобщается на случай произвольного числа измерений, для этого её даже не надо переписывать, достаточно под $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$ , $dV$$dV$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}$${\vec {n}}$  понимать соответственно $N$$N$ -мерный радиус-вектор из начала координат, элемент объёма в $N$$N$ -мерном пространстве и $N$$N$ -мерный единичный вектор. В принципе, вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}$${\vec {n}}$  можно параметризовать углами в пространстве любого числа измерений. Например, в трёхмерном пространстве имеется параметризация $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}=(\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$${\vec {n}}=(\sin \theta \cos \alpha ,\sin \theta \sin \alpha ,\cos \theta )$ .

Геометрический смысл преобразования Радона в многомерном случае: интеграл от функции по гиперплоскости, перпендикулярной вектору $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}$${\vec {n}}$  и проходящей на расстоянии $s$$s$  от начала координат (взятом со знаком минус, если перпендикуляр из начала координат на плоскость противоположно направлен с вектором $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}$${\vec {n}}$ ).

Обращение многомерного преобразования РадонаПравить

В многомерном случае преобразование Радона достаточно хорошей функции тоже обратимо. Рассмотрим преобразование Фурье от $R(s,\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n})$$R(s,{\vec {n}})$  по переменной $s$$s$ , то есть

$\int <!--\; \int \; -->R(s,\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n})e^{-<!--\; -\; -->is\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}ds$$\int R(s,{\vec {n}})e^{-is\omega }ds$ .

Используя формулу (2) и свойства дельта-функции мы получим:

$\int <!--\; \int \; -->R(s,\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n})e^{-<!--\; -\; -->is\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}ds=\int <!--\; \int \; -->f(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})e^{-<!--\; -\; -->i\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$$\int R(s,{\vec {n}})e^{-is\omega }ds=\int f({\vec {r}})e^{-i{\vec {r}}{\vec {n}}\omega }d{\vec {r}}$ .

Заметим теперь, что $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{N-<!--\; -\; -->1}d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\int <!--\; \int \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}$$\int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{N-1}d\omega \int d{\vec {n}}$  есть интеграл по всему $N$$N$ -мерному пространству (здесь под интегралом $\int <!--\; \int \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}$$\int d{\vec {n}}$  подразумевается интеграл по $(N-<!--\; -\; -->1)$$(N-1)$ -мерной сфере, в частности, для $N=2$$N=2$  $\int <!--\; \int \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}=\int <!--\; \int \; -->d\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\int d{\vec {n}}=\int \limits d\alpha$ , для $N=3$$N=3$  $\int <!--\; \int \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}=\int <!--\; \int \; -->d\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\int d{\vec {n}}=\int \limits d\phi \cos \theta d\theta$ ). Из этого следует, что

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{N-<!--\; -\; -->1}d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^N}\int <!--\; \int \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}{e}^{i({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}^{\prime }-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}}=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}-<!--\; -\; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}^{\prime })$$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\omega ^{N-1}d\omega }{(2\pi )^{N}}}\int d{\vec {n}}e^{i({\vec {r}}'-{\vec {r}})\omega {\vec {n}}}=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')$ .

Используя это представление векторной дельта-функции, получаем формулу обращения:

$f({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}^{\prime })=\int <!--\; \int \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{N-<!--\; -\; -->1}d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^N}{e}^{i{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}^{\prime }\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\int <!--\; \int \; -->ds{e}^{-<!--\; -\; -->is\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}R(s,\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n})$$f({\vec {r}}')=\int d{\vec {n}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\omega ^{N-1}d\omega }{(2\pi )^{N}}}e^{i{\vec {r}}'{\vec {n}}\omega }\int dse^{-is\omega }R(s,{\vec {n}})$ .

См. такжеПравить

• Формула Крофтона
• Преобразование Хафа

ЛитератураПравить

• Грузман И. С. Математические задачи компьютерной томографии // Соросовский образовательный журнал № 5, 2001.
• Deans S. R. The Radon Transform and Some of Its Applications. — New York: John Wiley & Sons, 1983.
• Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics, 32). — Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. — ISBN 0-89871-493-1.
• Natterer F., Wubbeling F. Mathematical Methods in Image Reconstruction. — Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. — ISBN 0-89871-472-9.