Ядро Пуассона

Ядро Пуассона — ядро, используемое для решения двумерного уравнения Лапласа с учетом граничных условий Дирихле в единичном круге. Ядро можно представить как производную функции Грина для уравнения Лапласа. Ядро названо в честь С. Пуассона.

Ядро Пуассона играет важную роль в комплексном анализе, поскольку интеграл от ядра Пуассона — интеграл Пуассона — расширяет функцию, определённую на единичной окружности, до гармонической функции, определённой на единичном круге. По определению гармонические функции являются решениями уравнения Лапласа, и — в двумерном случае — эквивалентны мероморфным функциям. Таким образом, двумерная задача Дирихле, по сути, аналогична задаче о нахождении мероморфного продолжения функции, заданной на границе области. Также можно расширить определения ядра Пуассона на n-мерный случай.

Ядра Пуассона обычно находят применение в теории управления и в электростатике.

Ядро Пуассона в двумерном случаеПравить

На комплексной плоскости ядро Пуассона $P_r(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$P_{r}(\theta )$  задаётся формулой

$P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}}\right),\ \ \ 0\leq r<1.$ 

Эту формулу можно рассматривать с двух сторон: как функцию $r(\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->})$$r(\Theta )$  или как семейство функций ${\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}_r$$\Theta _{r}$  при $0\leq r<1.$ 

Если область $D$$D$  такова, что $D=\{z:|z|<1\}$  — единичный круг в комплексном Лебеговом пространстве и если функция $f$$f$  задана в области $D$$D$ , то функция

$u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f(e^{it})\,\mathrm {d} t,\ \ \ 0\leq r<1$ 

является гармонической функцией в области $D.$$D.$ 

Так как граничные условия функции $u$$u$  совпадают с граничными условиями функции $f$$f$ , то при $r\to <!--\; \to \; -->1P_r(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$r\rightarrow 1\ \ P_{r}(\theta )$  задаёт свёртку в пространстве $L^p(T).$$L^{p}(T).$ 

Свёртки с таким приближением показывают пример суммирования ядра для рядов Фурье в пространстве $L^1.$$L^{1}.$  Пусть функция $f\in <!--\; \in \; -->L^1(T)$$f\in L^{1}(T)$  имеет ряд Фурье $\{f_k\}.$$\{f_{k}\}.$  После преобразований Фурье свёртка $P_r(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$P_{r}(\theta )$  умножается на ряд $\{r^k\}\in <!--\; \in \; -->L^1(Z).$$\{r^{k}\}\in L^{1}(Z).$ 

ЛитератураПравить

• Conway, John B. (1978), Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3 .
• Axler, S.; Bourdon, P. & Ramey, W. (1992), Harmonic Function Theory, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7 .
• King, Frederick W. (2009), Hilbert Transforms Vol. I, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5 .
• Stein, Elias & Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X .
• Weisstein, Eric W. Poisson Kernel (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Gilbarg, D. & Trudinger, N., Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ISBN 3-540-41160-7 .