Тригонометрические преобразования Фурье

Синус-преобразование Фурье и косинус-преобразование Фурье — одни из видов преобразований Фурье, не использующих комплексные числа.

ОпределениеПравить

Синус-преобразование ФурьеПравить

Синус-преобразование Фурье ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}^s$${\hat {f}}^{s}$  или ${\mathcal{F}}_s(f)$${\mathcal {F}}_{s}(f)$  функции $f(t)$$f(t)$  равно

$2\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)\sin 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}tdt.$$2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt.$ ,

где

$t$$t$  — время, $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  — частота колебаний.

Функция ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}^s(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})$${\hat {f}}^{s}(\nu )$  нечётна по $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$ , то есть

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}^s(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})=-<!--\; -\; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}^s(-<!--\; -\; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})$${\hat {f}}^{s}(\nu )=-{\hat {f}}^{s}(-\nu )$  для любого $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$ .

Косинус-преобразование ФурьеПравить

Косинус-преобразование Фурье ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}^c$${\hat {f}}^{c}$  или ${\mathcal{F}}_c(f)$${\mathcal {F}}_{c}(f)$  функции $f(t)$$f(t)$  равно

$2\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)\cos 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}tdt.$$2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt.$ 

где

$t$$t$  — время, $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  — частота колебаний.

Функция ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}^c(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})$${\hat {f}}^{c}(\nu )$  чётна по $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$ , то есть ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}^c(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})={\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}^c(-<!--\; -\; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})$${\hat {f}}^{c}(\nu )={\hat {f}}^{c}(-\nu )$  для любого $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$ .

Обратное синус- и косинус-преобразование ФурьеПравить

Изначальная функция $f(t)$$f(t)$  может быть найдена по формуле

$f(t)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}^c\cos <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}t)d\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}+{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}^s\sin <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}t)d\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}.$$f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}\cos(2\pi \nu t)d\nu +\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \nu t)d\nu .$ 

Используя формулу сложения для косинуса, получим, что

$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}(f(x+0)+f(x-<!--\; -\; -->0))={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t-<!--\; -\; -->x)f(t)dtd\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},$${\frac {\pi }{2}}(f(x+0)+f(x-0))=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cos \omega (t-x)f(t)dtd\omega ,$ ,

где

$f(x+0)$$f(x+0)$  и $f(x-<!--\; -\; -->0)$$f(x-0)$  — право- и левосторонние пределы соответственно.

Если функция $f(t)$$f(t)$  чётная, то часть формулы с синусом обращается в нуль, если $f(t)$$f(t)$  нечётная, то исчезает косинус.

Расширение на комплексные числаПравить

Сегодня чаще используется формула синус- и косинус-преобразования Фурье в комплексном виде

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)e^{-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}t}dt.$${\hat {f}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt.$ 

Используя формулу Эйлера, получим

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)(\cos 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}t-<!--\; -\; -->i\sin <!--\; \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}t)dt=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)\cos 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}tdt-<!--\; -\; -->i\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)\sin 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}tdt=\frac{1}{2}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}^c(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})-<!--\; -\; -->\frac{i}{2}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}^s(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}).$${\hat {f}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{2\pi \nu t}-i\,\sin {2\pi \nu t})\,dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt-i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt={\frac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\frac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu ).$ 

См. такжеПравить

• Преобразование Фурье;
• Дискретное косинусное преобразование.

СсылкиПравить

• Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, стр. 189, 211