Преобразование Мелера — Фока

Преобразование Мелера — Фока функции $f(x)$$f(x)$ имеет вид:

$F(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f(x)P_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}(x)dx,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->0,$$F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,\quad \tau \geqslant 0,$

где $P_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)$$P_{\nu }(x)$ — сферическая функция Лежандра первого рода. Если $f(x)$$f(x)$ — вещественная функция, причём

$f(x)f(x)P_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}}(x)\in <!--\; \in \; -->L(1,+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}),$$f(x)f(x)P_{-{\frac {1}{2}}}(x)\in L(1,+\infty ),$

тогда интеграл $F(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$F(\tau )$, понимаемый в смысле Лебега, представляет вещественную функцию, определённую для любых $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\tau \geqslant 0$.

Обратное преобразование имеет вид:

$f(x)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{t}\mathrm{h}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})F(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})P_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}.$$f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )F(\tau )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }d\tau .$

Данное преобразование было впервые введено Г. Ф. Мелером в 1881 году, основные касающиеся его теоремы были доказаны В. А. Фоком.

Преобразование Мелера — Фока находит применение при решении задач теории потенциала, теории теплопроводности, при решении линейных интегральных уравнений и других задач математической физики.

Другие определенияПравить

Иногда определение $F(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$F(\tau )$  распространяют и на $\tau <0$ , полагая

$F(-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=F(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}).$$F(-\tau )=F(\tau ).$ 

В основе теории преобразования Мелера — Фока лежит разложение произвольной функции в интеграл типа Фурье:

$f(x)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{t}\mathrm{h}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})P_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})P_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}.$$f(x)=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }f(\xi )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\xi )d\xi d\tau .$ 

На его основе могут быть получены другие возможные определения преобразования Мелера — Фока.

В литературе встречается определение:

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{F}(x)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{P}_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}(x)f(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},x⩾<!--\; ⩾\; -->1.$${\tilde {F}}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)f(\tau )d\tau ,\quad x\geqslant 1.$ 

Тогда, если $f(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\in <!--\; \in \; -->L[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$f(\tau )\in L[0,\infty )$ , $|f^{\prime }(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})|$$|f'(\tau )|$  — локально интегрируема на $[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$[0, \infty)$  и $f(0)=0$$f(0) = 0$ , верна формула обращения:

$f(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{t}\mathrm{h}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}){\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{P}_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}(x)\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{F}(x)dx.$$f(\tau )=\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x){\tilde {F}}(x)dx.$ 

ВычислениеПравить

Фактическое вычисление преобразования Мелера — Фока осуществляется посредством интегральных представлений функций Лежандра и последующей смены порядка интегрирования.

Примерами, таких интегральных представлений являются:

$P_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}(\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\frac{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}s}{\sqrt{2(\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{c}\mathrm{h}s)}}ds,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->0,$$P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\alpha }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s)}}}ds,\quad \alpha \geqslant 0,$ 

(данное представление также называют интегралом Мелера)

$P_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}(\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}s}{\sqrt{2(\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{c}\mathrm{h}s)}}ds,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->0.$$P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\mathrm {ch} \,\pi \tau \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s)}}}ds,\quad \alpha \geqslant 0.$ 

Равенство ПарсеваляПравить

Для преобразования Мелера — Фока может быть получен аналог равенства Парсеваля для преобразования Фурье.

Пусть $g_k(x),i=1,2$$g_{k}(x),\;i=1,2$  — две произвольные функции, удовлетворяющие условиям:

$g_k(x)x^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}}\ln <!--\; \; -->(1+x)\in <!--\; \in \; -->L(1,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}),g_k(x)\in <!--\; \in \; -->L_2(1,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}),$$g_{k}(x)x^{-{\frac {1}{2}}}\ln(1+x)\in L(1,\infty ),\quad g_{k}(x)\in L_{2}(1,\infty ),$ 

а преобразование Мелера — Фока задано равенствами:

$G_k(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\sqrt{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{P}_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}(x)g_k(x)dx,i=1,2,$$G_{k}(\tau )=\int _{1}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)g_{k}(x)dx,\quad i=1,2,$ 

$g_k(x)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\sqrt{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{P}_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}(x)G_k(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})dx,i=1,2,$$g_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)G_{k}(\tau )dx,\quad i=1,2,$ 

тогда выполнено равенство Парсеваля для преобразования Мелера — Фока:

${\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{G}_1(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})G_2(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}={\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{g}_1(x)g_2(x)dx.$$\int _{0}^{\infty }G_{1}(\tau )G_{2}(\tau )d\tau =\int _{1}^{\infty }g_{1}(x)g_{2}(x)dx.$ 

Пример использованияПравить

Рассмотрим пример решения с помощью преобразования Мелера — Фока интегрального уравнения:

$f(x)=g(x)+\lambda \int _{1}^{\infty }{\frac {f(s)}{x+s}}ds,\quad x\geqslant 1,\quad \pi \lambda <1.$ 

Пусть преобразования Мелера — Фока

$F(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f(x)P_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}(x)dx,$$F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,$ 

$G(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}g(x)P_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}(x)dx,$$G(\tau )=\int _{1}^{\infty }g(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,$ 

существуют.

Тогда уравнение может быть преобразовано к виду:

$F(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=G(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})+\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{c}\mathrm{h}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}F(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}),$$F(\tau )=G(\tau )+{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}F(\tau ),$ 

откуда:

$F(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\frac{G(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}{1-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{c}\mathrm{h}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}}.$$F(\tau )={\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}}}.$ 

Если $g(x)$$g(x)$  — непрерывная функция ограниченной вариации во всяком конечном интервале $x\in <!--\; \in \; -->(1,b),$$x\in (1,b),$  причём

$g(x)P_{\frac{1}{2}}(x)\in <!--\; \in \; -->L(1,+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}),$$g(x)P_{\frac {1}{2}}(x)\in L(1,+\infty ),$ 

$G(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\in <!--\; \in \; -->L(0,+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}),$$G(\tau )\tau \in L(0,+\infty ),$ 

то посредством формулы обращения получим решение исходного уравнения:

$f(x)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{t}\mathrm{h}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\frac{G(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}{1-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{c}\mathrm{h}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}}{P}_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}(x)d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}.$$f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \mathrm {th} \,(\pi \tau ){\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}}}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)d\tau .$ 

Обобщённое преобразование Мелера — ФокаПравить

Обобщённое преобразование Мелера — Фока задаётся формулой:

${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{F}}_k(x)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{P}_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{(k)}f(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},$${\tilde {F}}_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }^{(k)}f(\tau )d\tau ,$ 

где $P_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{(k)}(x)$$P_{\nu }^{(k)}(x)$  — присоединённые функции Лежандра 1-го рода.

Соответствующая формула обращения:

$f(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{t}\mathrm{h}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}{2}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->k+ix\right)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->k-<!--\; -\; -->ix\right){\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{P}_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{(k)}(x){\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{F}}_k(x)dx.$$f(\tau )={\frac {\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )}{2}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}-k+ix\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-k-ix\right)\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }^{(k)}(x){\tilde {F}}_{k}(x)dx.$ 

Частные случаиПравить

1. При $k=0$$k = 0$  получится случай обычного преобразования Мелера — Фока $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{F}(x)$${\tilde {F}}(x)$ .
2. При $k=\frac{1}{2},x=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$k={\frac {1}{2}},x=\,\mathrm {ch} \,\alpha$  получится косинус-преобразование Фурье.
3. При $k=-<!--\; -\; -->\frac{1}{2},x=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$k=-{\frac {1}{2}},x=\,\mathrm {ch} \,\alpha$  получится синус-преобразование Фурье.

ЛитератураПравить

• Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961