S-преобразование

S-преобразова́ние — один из математических операционных методов отображения функции, зависящей от одной переменной, обычно от времени в частотно-временную область, разновидность оконного преобразования Фурье с гауссовской оконной функцией вида $f\left(x\right)=a{e}^{-<!--\; -\; -->b(x-<!--\; -\; -->c{)}^2}$$f\left(x\right)=ae^{-{b(x-c)^{2}}}$.

S-преобразование имеет лучшее разрешение, чем преобразование Габора, но уступает по разрешению преобразованию Вигнера и билинейному время-частотному преобразованию.

Предложено в 1994 г. для анализа геофизических данных.

В 2008 г. найден алгоритм быстрого S-преобразования, на несколько порядков сокращающий вычислительную сложность относительно прямого вычисления. Алгоритм быстрого S-преобразования свободно доступен по свободной лицензии.

ОпределениеПравить

Математически S-преобразование определяется как оконное преобразование Фурье с гауссовой оконной функцией:

$S_x(t,f)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})|f|e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}{)}^2{f}^2}{e}^{-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}f\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}.$$S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )|f|e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau .$ 

Обратное S-преобразование:

$x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\left[{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{S}_x(t,f)dt\right]e^{j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}f\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}df.$$x(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(t,f)\,dt\right]\,e^{j2\pi f\tau }\,df.$ 

Общие замечанияПравить

Операционные методы (операционные исчисления) нашли широкое распространение при исследовании динамических систем. Наибольшую известность и применение получили преобразования Лапласа, Фурье, Z-преобразование, дифференциальные преобразования Пухова. Характерной особенностью всех операционных методов является такое преобразование сигналов и переменных интегро-дифференциальной математической модели динамической системы, при котором формируется алгебраическая модель системы, производится решение задачи, и на основе которых путём обратного операционного преобразования определяются решения исходной математической модели. Развитие фрактальных динамических систем, математическими моделями которых являются интегро-дифференциальные уравнения нецелых порядков, привело к необходимости создания и применения новых операционных методов, которые были бы применимы как к классическим динамическим системам целого порядка, так и к фрактальным системам. Одним из таких методов является метод, получивший название S-преобразования. Метод основан на использовании полиномиальной аппроксимации в качестве операционного исчисления.

См. такжеПравить

• Преобразование Лапласа
• Преобразование Фурье
• Оконное преобразование Фурье
• Z-преобразование
• Дифференциальные преобразования Пухова
• Интегральные преобразования
• Операционное исчисление
• Дробное исчисление

ЛитератураПравить

• Васильев В. В., Симак Л. А. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем, НАН Украины, 2008. — 256 с.
• Васильев В. В., Симак Л. А., Васильев А. В. Операционное исчисление аппроксимационного типа: Применение к цифровой обработке сигналов и моделированию динамических систем дробного порядка // «Электронное моделирование», 2016, т. 38, № 4. — 20 с.
• Васильев А. В. Математические модели ПИД-контроллеров динамических систем целого и дробного порядков на основе S-преобразования // «Информационные и телекоммуникационные технологии», 2013. № 17. — С. 21—26.