Корни из единицы

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена $x^n-<!--\; -\; -->1$$x^n-1$, где $n⩾<!--\; ⩾\; -->1$$n\geqslant 1$. Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1. В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена $x^n-<!--\; -\; -->1$$x^{n}-1$ не только в комплексном, но и в произвольном ином поле, характеристика $p$$p$ которого не является делителем степени $n$$n$ многочлена.

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел, быстром преобразовании Фурье, теории расширений полей, теории построений циркулем и линейкой, представлениях групп.

ПредставлениеПравить

Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:

$1=\cos <!--\; \; -->0+i\sin <!--\; \; -->0.$$1=\cos 0+i\sin 0.$ 

Тогда по формуле Муавра получим выражение для $k$$k$ -го корня n-й степени из единицы $u_k$$u_{k}$ :

$u_k=\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k}{n}+i\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k}{n},k=0,1,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1.$$u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}},\quad k=0,1,\dots ,n-1.$ 

Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:

$u_k=e^{\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k}{n}i},k=0,1,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1.$$u_{k}=e^{{\frac {2\pi k}{n}}i},\quad k=0,1,\dots ,n-1.$ 

Из этих формул вытекает, что корней n-й степени из единицы всегда ровно $n$$n$ , и все они различны.

ПримерыПравить

 

Кубические корни из единицы

Кубические корни из единицы:

$\left\{1,\frac{-<!--\; -\; -->1+i\sqrt{3}}{2},\frac{-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->i\sqrt{3}}{2}\right\}.$$\left\{1,{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.$ 

Корни 4-й степени из единицы:

$\left\{1,+i,-<!--\; -\; -->1,-<!--\; -\; -->i\right\}.$$\left\{1,+i,-1,-i\right\}.$ 

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента, степени каждого из которых охватывают все корни 5-й степени:

$\{e^{\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ik}{5}}|k\in <!--\; \in \; -->\{1,2,3,4\}\}=\left\{\frac{u\sqrt{5}-<!--\; -\; -->1}{4}+v\sqrt{\frac{5+u\sqrt{5}}{8}}i|u,v\in <!--\; \in \; -->\{-<!--\; -\; -->1,1\}\right\}.$${\Big \{}e^{\frac {2\pi ik}{5}}\,{\Big |}\,k\in \{1,2,3,4\}{\Big \}}=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}i\,\right|\,u,v\in \{-1,1\}\right\}.$ 

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два ($u_1$$u_{1}$  и $u_5$$u_{5}$ ):

$\left\{\frac{1+i\sqrt{3}}{2},\frac{1-<!--\; -\; -->i\sqrt{3}}{2}\right\}.$$\left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.$ 

СвойстваПравить

Геометрические свойстваПравить

Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица $1+0i.$$1+0i.$  Вещественных корней может быть либо два, если $n$$n$  чётно (единица и минус единица), либо один (единица), если $n$$n$  нечётно. В любом случае невещественных корней чётное число, они располагаются симметрично относительно горизонтальной оси. Последнее означает, что если $u_k$$u_{k}$  — корень из единицы, то сопряжённое к нему число $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u_k}$${\overline {u_{k}}}$  — тоже корень из единицы.

Пусть M — произвольная точка единичной окружности и $n>1.$$n>1.$  Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней $n$$n$ -й степени из единицы равна $2n$$2n$ .

Алгебраические свойстваПравить

Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.

Корни из единицы образуют по умножению коммутативную конечную группу порядка $n$$n$ . В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. Нейтральным элементом группы является комплексная единица.

 

Корни 6-й степени из единицы как степени первого порождающего элемента

Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов ${\mathbb{Z}}_n.$$\mathbb {Z} _{n}.$  Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент $u_k$$u_{k}$ , индекс $k$$k$  которого взаимно прост с $n$$n$ .

• Следствия:
  • элемент $u_1$$u_{1}$  всегда является первообразным (его часто называют главным корнем из единицы);
  • если $n$$n$  — простое число, то степени любого корня, кроме $\pm <!--\; \pm \; -->1$$\pm 1$ , охватывают всю группу (то есть все корни, кроме $\pm <!--\; \pm \; -->1$$\pm 1$ , являются первообразными);
  • число первообразных корней равно $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(n)$$\varphi (n)$ , где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — функция Эйлера.

Если $n>1$$n>1$ , то для любого первообразного корня из единицы $u$$u$  имеют место формулы

$\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}^k=\frac{u^n-<!--\; -\; -->1}{u-<!--\; -\; -->1}=0,$$\sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0,$ 

$\underset{k=1}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}|1-<!--\; -\; -->u_k|=n.$$\prod _{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n.$ 

Круговые поляПравить

Основная статья: Круговое поле

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле $K_n=\mathbb{Q}(u)$$K_{n}=\mathbb {Q} (u)$ , порождённое присоединением к полю рациональных чисел $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  первообразного корня n-й степени из единицы $u$$u$ . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.

Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: $K_3$$K_{3}$  состоит из комплексных чисел вида $a+b\sqrt{3}i$$a+b{\sqrt {3}}\,i$ , где $a,b$$a,b$  — рациональные числа.

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

ОбобщенияПравить

Корни из единицы n-й степени можно определить не только для комплексных чисел, но и для любого другого алгебраического поля $K$$K$  как решения уравнения $x^n=1$$x^{n}=1$ , где $1$$1$  — единица поля $K$$K$ . Корни из единицы существуют в любом поле и образуют подгруппу мультипликативной группы поля $K$$K$ . Обратно, любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля $K$$K$  содержит только корни из единицы и является циклической.

Если характеристика поля ненулевая, то группа корней из единицы совместно с нулём образует конечное поле.

ИсторияПравить

Широкое применение корней из единицы как инструмента исследования начал Гаусс. В своей монографии «Арифметические исследования» (1801) он впервые решил древнюю задачу о делении окружности циркулем и линейкой на n равных частей (или, что то же, о построении правильного многоугольника с n сторонами). С помощью корней из единицы Гаусс свёл задачу к решению уравнения деления круга:

$x^{n-<!--\; -\; -->1}+x^{n-<!--\; -\; -->2}+\dots <!--\; \dots \; -->+x+1=0.$$x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +x+1=0.$ 

Дальнейшие рассуждения Гаусса показали, что задача имеет решение, только если n может быть представлено в виде $2^{2^r}+1$$2^{2^{r}}+1$ . Подход Гаусса использовали позднее Лагранж и Якоби. Коши применил корни из единицы для исследования более общей задачи решения алгебраических уравнений со многими неизвестными (1847 год).

Новые применения корней из единицы обнаружились после создания в начале XX века абстрактной алгебры. Эмми Нётер и Эмиль Артин использовали это понятие в теории расширений полей и обобщении теории Галуа.

См. такжеПравить

• Круговой многочлен
• Первообразный корень из единицы

ЛитератураПравить

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — С. 188 и далее. — 299 с.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 15.
• Milne, James S. Algebraic Number Theory  (неопр.). Course Notes (1998). Архивировано 2 апреля 2012 года.

СсылкиПравить

• Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений.