Теория Галуа

См. также: Дифференциальная теория Галуа

Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определённые вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.

Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочлена (с рациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «группа» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.

Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа, соответствующей данному расширению.

ПриложенияПравить

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как

1. Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
2. Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

Симметрии корнейПравить

Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами (с несколькими переменными), которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.

Пример: квадратное уравнениеПравить

У многочлена второй степени $a{x}^2+bx+c$$ax^{2}+bx+c$  имеются два корня $x_1$$x_{1}$  и $x_2$$x_{2}$ , симметричных относительно точки $x=-<!--\; -\; -->b/(2a)$$x=-b/(2a)$ . Возможны два варианта:

• Если эти корни рациональны, то уравнению $x-<!--\; -\; -->x_1=0$$x-x_{1}=0$  удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
• Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент $x_1\iff <!--\; \iff \; -->x_2$$x_{1}\Leftrightarrow x_{2}$  и изоморфна $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$ .

Более сложный примерПравить

Рассмотрим теперь многочлен $(x^2-<!--\; -\; -->5{)}^2-<!--\; -\; -->24$$(x^{2}-5)^{2}-24$ .

Его корни: $a=\sqrt{2}+\sqrt{3},b=\sqrt{2}-<!--\; -\; -->\sqrt{3},c=-<!--\; -\; -->\sqrt{2}+\sqrt{3},d=-<!--\; -\; -->\sqrt{2}-<!--\; -\; -->\sqrt{3}$$a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\ c=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$ .

Существует $4!=24$$4!=24$  различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений — $a+d=0$$a+d=0$ . Поскольку $a+c\ne <!--\; \ne \; -->0$$a+c\neq 0$ , перестановка $a\to <!--\; \to \; -->a,b\to <!--\; \to \; -->b,c\to <!--\; \to \; -->d,d\to <!--\; \to \; -->c$$a\to a,\ b\to b,\ c\to d,\ d\to c$  не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что $(a+b{)}^2=8$$(a+b)^{2}=8$ , но $(a+c{)}^2=12$$(a+c)^{2}=12$ . Поэтому перестановка $a\to <!--\; \to \; -->a,b\to <!--\; \to \; -->c,c\to <!--\; \to \; -->b,d\to <!--\; \to \; -->d$$a\to a,\ b\to c,\ c\to b,\ d\to d$  не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:

$(a,b,c,d)\to <!--\; \to \; -->(a,b,c,d),$$(a,b,c,d)\to (a,b,c,d),$ 

$(a,b,c,d)\to <!--\; \to \; -->(c,d,a,b),$$(a,b,c,d)\to (c,d,a,b),$ 

$(a,b,c,d)\to <!--\; \to \; -->(b,a,d,c),$$(a,b,c,d)\to (b,a,d,c),$ 

$(a,b,c,d)\to <!--\; \to \; -->(d,c,b,a)$$(a,b,c,d)\to (d,c,b,a)$ 

и является четверной группой Клейна, изоморфной $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times <!--\; \times \; -->(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ .

Формулировка в терминах теории полейПравить

Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа.

На этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения $L\supset <!--\; \supset \; -->K$$L\supset K$ . Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\supset <!--\; \supset \; -->\mathbb{Q}$${\mathbb Q}({\sqrt 2},{\sqrt 3})\supset {\mathbb Q}$ .

Разрешимые группы и решение уравнений в радикалахПравить

Решения полиномиального уравнения $P(x)=0$$P(x)=0$  выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения в общем виде разрешима.

Для любого $n$$n$  существует уравнение $n$$n$ -й степени, группа Галуа которого изоморфна симметрической группе $S_n$$S_{n}$ , то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы $S_n$$S_{n}$  при $n>4$$n>4$  не являются разрешимыми, существуют многочлены степени $n$$n$ , корни которых не представимы при помощи радикалов, что является утверждением теоремы Абеля — Руффини.

Вариации и обобщенияПравить

• Более абстрактный подход к теории Галуа был разработан Александром Гротендиком в 1960 году. Этот подход позволяет применить основные результаты теории Галуа к любой категории, обладающей заданными свойствами (например, существованием копроизведений и декартовых квадратов).
  • В частности, это позволяет перенести результаты теории Галуа в теорию накрытий. Для того, чтобы применить эту теорию к категории расширений полей, требуется изучение свойств тензорных произведений полей^[en].

ЛитератураПравить

• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. — М.: Наука.

• Том 1 Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. 1978. (недоступная ссылка)

• Постников М. М. Теория Галуа. Архивная копия от 2 апреля 2014 на Wayback Machine — М.: Физматгиз, 1963.
• Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: Société mathématique de France, arXiv: math/0206203 — ISBN 978-2-85629-141-2
• Скопенков А. Б. Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals.
• Lerner L. Galois Theory without abstract algebra.
• Эмиль Артин. Теория Галуа. / Пер. с англ. А. В. Самохина. — 2-е изд. стереотипное. — М.: МЦНМО, 2008. — 66 с. — (Классические монографии: математика). — ISBN 978-5-94057-062-2.

СсылкиПравить

• Р. Борчердс, Плейлист «Galois theory» на YouTube