Единичная окружность

Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Это понятие широко используется для определения и исследования тригонометрических функций.

Свойства и связанные понятияПравить

Внутренность единичной окружности называется единичным кругом.

Для координат всех точек на единичной окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство $x^2+y^2=1$$x^2 + y^2 = 1$ . Это равенство можно рассматривать как уравнение единичной окружности.

Тригонометрические функцииПравить

 

Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку $(x,y)$$(x, y)$  на единичной окружности с началом координат $(0,0)$$(0, 0)$ , получается отрезок, находящийся под углом $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда получим:

$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=x$$\cos\alpha = x$ ,

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=y$$\sin\alpha = y$ .

При подстановке этих значений в уравнение окружности $x^2+y^2=1$$x^2 + y^2 = 1$  получается:

${\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1$$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ .

(Используется следующая общепринятая нотация: ${\cos }^2<!--\; \; -->x=(\cos <!--\; \; -->x{)}^2$$\cos^2x = (\cos x)^2$ .)

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

$\sin <!--\; \; -->(x+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k)=\sin <!--\; \; -->(x)$$\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)$ 

$\cos <!--\; \; -->(x+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k)=\cos <!--\; \; -->(x)$$\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$ 

для всех целых чисел $k$$k$ , то есть для $k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$k\in \mathbb Z$ .

Комплексная плоскостьПравить

См. также: U(1) и Корни из единицы

В комплексной плоскости единичная окружность — это множество комплексных чисел, модуль которых равен 1:

$G=\{z:|z|=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leqslant \phi <2\pi \}$ 

Любое ненулевое комплексное число $z$$z$  может быть однозначно записано в виде $z=|z|u,$$z=|z|u,$  где число $u$$u$  имеет модуль 1 и поэтому принадлежит единичной окружности,

Множество $G$$G$  является подгруппой группы комплексных чисел по умножению. В свою очередь, $G$$G$  содержит важные в алгебре конечные группы корней $n$$n$ -й степени из единицы, образующие вдоль единичной окружности вершины правильного $n$$n$ -угольника.

 

Радиан как длина дуги единичной окружности

Радианная мераПравить

Радианную меру угла можно определить как длину той дуги, которую высекает из единичной окружности данный угол (центр окружности совпадает с вершиной угла).

Вариации и обобщенияПравить

Понятие единичной окружности обобщается до $n$$n$ -мерного пространства ($n>2$$n>2$ ), в таком случае говорят о «единичной сфере».

ЛитератураПравить

• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Unit Circle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.