Теорема Кронекера — Вебера

Теорема Кронекера — Вебера — утверждение в алгебраической теории чисел, согласно которому каждое конечное абелево расширение поля рациональных чисел $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ , или, другими словами, каждое алгебраическое числовое поле, чья группа Галуа над $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ является абелевой, — является подполем некоторого кругового поля, то есть поля, полученного присоединением корня из единицы к рациональным числам.

Названа в честь Леопольда Кронекера и Генриха Мартина Вебера, Кронекер осуществил основную часть доказательства в 1853 году, в 1886 году Вебер и Гильберт заполнили некоторые логические пробелы. Теорема может быть доказана прямыми алгебраическими построениями, но также является простым следствием результатов теории полей классов.

Для заданного абелевого расширения $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $K$ $K$ поля $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ можно определить минимальное круговое поле, содержащее $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $K$ $K$ . Для заданного $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $K$ $K$ можно определить такое наименьшее целое число $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ , что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $K$ $K$ является подполем поля, порождённого корнем из единицы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ -й степени. Например, для квадратичных полей таким числом является абсолютная величина их дискриминанта.

Вопрос распространения теоремы на произвольное числовое поле — одна из проблем Гильберта (12-я), по состоянию на 2022 год проблема остаётся нерешённой.

ЛитератураПравить

В Викитеке есть тексты по теме: «Ein neuer Beweis des Kroneckerschen Fundamentalsatzes über Abelsche Zahlkörper.»

Greenberg, M. J. An Elementary Proof of the Kronecker-Weber Theorem (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 6, 1974. — Vol. 81, no. 6. — P. 601—607. — doi:10.2307/2319208.