Гомотопические группы сфер

Гомотопические группы сфер — один из основных объектов изучения теории гомотопий, области алгебраической топологии. Гомотопические группы сфер классифицируют отображения между многомерными сферами с точностью до непрерывной деформации. Гомотопические группы сфер являются дискретными алгебраическими объектами, а именно конечнопорождёнными абелевыми группами. Несмотря на то, что классификация конечнопорождённых абелевых групп очень проста, точная структура гомотопических групп сфер до конца неизвестна.

Расслоение Хопфа — пример отображения из трёхмерной сферы в двумерную, не стягиваемого в точку. Такое отображение является образующей гомотопической группы ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_3(S^2)\simeq <!--\; \simeq \; -->\mathbb{Z}$$\pi _{3}(S^{2})\simeq \mathbb {Z}$

Их нахождение было одним из наиболее важных направлений развития топологии и математики в целом в 1950—60-х годах, вплоть до создания обобщённых теорий когомологий. Причиной этого было как то, что гомотопические группы сфер являются базовыми топологическими инвариантами, понимание которых приводит к лучшему пониманию топологических пространств в целом, так и наличие большого числа сложных закономерностей в их структуре. Результатом стало как нахождение некоторых общих закономерностей, таких как стабильные гомотопические группы сфер и J-гомоморфизм, так и вычисление групп для малых значений параметров.

Неформальное введениеПравить

Многомерная сфера $S^n$$S^{n}$  размерности $n$$n$  — это топологическое пространство, которое можно представлять как геометрическое место точек $(n+1)$$(n+1)$ -мерного евклидова пространства, удалённых от начала координат на расстояние 1. В частности, $S^1$$S^{1}$  — это окружность, а $S^2$$S^{2}$  — обычная двумерная сфера.

Если $X$$X$  — любое топологическое пространство с отмеченной точкой $x$$x$ , то его $i$$i$ -тая гомотопическая группа ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_i(X)$$\pi _{i}(X)$  — это множество отображений из $S^i$$S^{i}$  в $X$$X$ , переводящих $1$$1$  в $x$$x$ , рассмотренное с точностью до гомотопий, то есть непрерывных шевелений, которые к тому же должны сохранять отмеченную точку. В частности, ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X)$$\pi _{1}(X)$  — это фундаментальная группа, то есть группа замкнутых путей в топологическом пространстве с операцией композиции. В многомерном случае это множество также можно снабдить структурой группы, при этом, в отличие от фундаментальной группы, при $i⩾<!--\; ⩾\; -->2$$i\geqslant 2$  группа ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_i(X)$$\pi _{i}(X)$  будет коммутативной.

Любое отображение из сферы меньшей размерности в сферу большой размерности можно стянуть в точку, поэтому группы ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_i(S^n)=0$$\pi _{i}(S^{n})=0$  при $i<n$ . Однако уже фундаментальная группа окружности ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(S^1)\simeq <!--\; \simeq \; -->\mathbb{Z}$$\pi _{1}(S^{1})\simeq \mathbb {Z}$  является бесконечной циклической группой. Её элементы, то есть отображения из окружности $S^1$$S^{1}$  в себя с точностью до гомотопии, однозначно задаются числом оборотов образа окружности вокруг её центра, и при композиции путей числа оборотов складываются. Аналогично одномерному случаю, гомотопическая группа отображений из $n$$n$ -мерной сферы в себя ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_n(S^n)\simeq <!--\; \simeq \; -->\mathbb{Z}$$\pi _{n}(S^{n})\simeq \mathbb {Z}$  является бесконечной цикличной. Тем не менее, устройство группы ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_3(S^2)$$\pi _{3}(S^{2})$  интуитивно неочевидно: она порождена расслоением Хопфа.

Малые значенияПравить

	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7	π8	π9	π10	π11	π12	π13	π14	π15	π16
S1	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S2	0	Z	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22	Z6
S3	0	0	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22	Z6
S4	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z×Z12	Z22	Z22	Z24×Z3	Z15	Z2	Z23	Z120×Z12×Z2	Z84×Z25	Z26
S5	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	Z2	Z2	Z2	Z30	Z2	Z23	Z72×Z2	Z504xZ22
S6	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	Z	Z2	Z60	Z24×Z2	Z23	Z72xZ2
S7	0	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z120	Z23	Z24
S8	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z×Z120	Z24

ЛитератураПравить

• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989.
• Hatcher, Allen. Algebraic Topology. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 978-0-521-79540-1.