Циклическая группа

Циклическая группа — группа $(G,\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$(G,\cdot )$, которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: $G=⟨<!--\; ⟨\; -->a⟩<!--\; ⟩\; -->$$G=\langle a\rangle$.

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени $g^n$$g^{n}$ будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению $(\mathbb{Z},+).$$(\mathbb {Z} ,+).$

СвойстваПравить

См. также: Конечные циклические группы

• Все циклические группы абелевы.
• Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе ${\mathbb{Z}}_n$$\mathbb {Z} _{n}$  = $\{0,1,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1\}$$\{0,1,\dots ,n-1\}$  со сложением по модулю n (её также обозначают $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ), а каждая бесконечная — изоморфна $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$ , группе целых чисел по сложению.
  • В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.
• Каждая подгруппа циклической группы циклична.
• У циклической группы порядка n существует ровно $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(n)$$\varphi (n)$  (функция Эйлера) порождающих элементов.
• Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
• Прямое произведение двух циклических групп порядков $n$$n$  и $m$$m$  циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.
  • Например, ${\mathbb{Z}}_{12}$$\mathbb {Z} _{12}$  изоморфна ${\mathbb{Z}}_3\times <!--\; \times \; -->{\mathbb{Z}}_4$$\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{4}$ , но не изоморфна ${\mathbb{Z}}_6\times <!--\; \times \; -->{\mathbb{Z}}_2$$\mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}$ .
• Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа ${\mathbb{Z}}_{p^n}$$\mathbb {Z} _{p^{n}}$ , где p — простое число, или $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$ .
• Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
• Кольцо эндоморфизмов группы ${\mathbb{Z}}_n$$\mathbb {Z} _{n}$  изоморфно кольцу ${\mathbb{Z}}_n$$\mathbb {Z} _{n}$ . При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм ${\mathbb{Z}}_n$$\mathbb {Z} _{n}$ , который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, тогда и только тогда, когда r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов ${\mathbb{Z}}_n$$\mathbb {Z} _{n}$  изоморфна ${\mathbb{Z}}_n^{\times <!--\; \times \; -->}$$\mathbb {Z} _{n}^{\times }$ .

ПримерыПравить

• Группа корней из единицы степени n по умножению.
• Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F, группой Галуа которого будет G.

ДоказательстваПравить

Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична.

Доказательство. Пусть $G$$G$  — циклическая группа и $H$$H$  — подгруппа группы $G$$G$ . Если группа $G$$G$  тривиальна (состоит из одного элемента), то $H=G$$H=G$  и $H$$H$  циклична. Если $H$$H$  — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то $H$$H$  циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что $G$$G$  и $H$$H$  не являются тривиальными.

Пусть $g$$g$  — образующий элемент группы $G$$G$ , а $n$$n$  — наименьшее положительное целое число, такое что $g^n\in <!--\; \in \; -->H$$g^{n}\in H$ . Утверждение: $H=⟨<!--\; ⟨\; -->g^n⟩<!--\; ⟩\; -->$$H=\langle g^{n}\rangle$ 

$⟨<!--\; ⟨\; -->g^n⟩<!--\; ⟩\; -->\subseteq <!--\; \subseteq \; -->H$$\langle g^{n}\rangle \subseteq H$ 

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->g^n⟩<!--\; ⟩\; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}z\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}\mid <!--\; \mid \; -->a=(g^n{)}^z$${\forall a\in \langle g^{n}\rangle }\ {\exists z\in \mathbb {Z} }\mid {a=(g^{n})^{z}}$ 

$g^n\in <!--\; \in \; -->H\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(g^n{)}^z\in <!--\; \in \; -->H\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->a\in <!--\; \in \; -->H$$g^{n}\in H\Rightarrow (g^{n})^{z}\in H\Rightarrow a\in H$ 

Следовательно, $⟨<!--\; ⟨\; -->g^n⟩<!--\; ⟩\; -->\subseteq <!--\; \subseteq \; -->H$$\langle g^{n}\rangle \subseteq H$ .

$H\subseteq <!--\; \subseteq \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->g^n⟩<!--\; ⟩\; -->$$H\subseteq \langle g^{n}\rangle$ 

Пусть $h\in <!--\; \in \; -->H$$h\in H$ .

$h\in <!--\; \in \; -->H\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->h\in <!--\; \in \; -->G\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}\mid <!--\; \mid \; -->h=g^x$$h\in H\Rightarrow h\in G\Rightarrow \exists x\in {\mathbb {Z} }\mid h=g^{x}$ .

Согласно алгоритму деления с остатком $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}q,r\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}\mid <!--\; \mid \; -->0\le <!--\; \le \; -->r\le <!--\; \le \; -->n-<!--\; -\; -->1\wedge <!--\; \wedge \; -->x=qn+r$$\exists q,r\in {\mathbb {Z} }\mid 0\leq r\leq n-1\land x=qn+r$ 

$h=g^x=g^{qn+r}=g^{qn}{g}^r=(g^n{)}^q{g}^r\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->g^r=h(g^n{)}^{-<!--\; -\; -->q}$$h=g^{x}=g^{qn+r}=g^{qn}g^{r}=(g^{n})^{q}g^{r}\Rightarrow g^{r}=h(g^{n})^{-q}$ .

$h,g^n\in <!--\; \in \; -->H\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->g^r\in <!--\; \in \; -->H$$h,g^{n}\in H\Rightarrow g^{r}\in H$ .

Исходя из того, каким образом мы выбрали $n$$n$  и того, что $0\le <!--\; \le \; -->r\le <!--\; \le \; -->n-<!--\; -\; -->1$$0\leq r\leq n-1$ , делаем вывод, что $r=0$$r=0$ .

$r=0\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->h=(g^n{)}^q{g}^0=(g^n{)}^q\in <!--\; \in \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->g^n⟩<!--\; ⟩\; -->$$r=0\Rightarrow h=(g^{n})^{q}g^{0}=(g^{n})^{q}\in \langle g^{n}\rangle$ .

Следовательно, $H\subseteq <!--\; \subseteq \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->g^n⟩<!--\; ⟩\; -->$$H\subseteq \langle g^{n}\rangle$ .

ЛитератураПравить

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001.
• Хамермеш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.