Гомотопия

Гомото́пия — семейство непрерывных отображений $F_t:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y,t\in <!--\; \in \; -->[0,1]$$F_{t}\colon X\to Y,\;t\in [0,1]$, непрерывно зависящих от параметра, более точно — непрерывное отображение $F:<!--\; :\; -->[0,1]\times <!--\; \times \; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$F\colon [0,1]\times X\to Y$.

Связанные определенияПравить

• Отображения $f,g:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f,g\colon X\to Y$  называются гомотопными ($g\sim <!--\; \sim \; -->f$$g\sim f$ ), если существует гомотопия $f_t$$f_t$  такая, что $f_0=f$$f_0=f$  и $f_1=g$$f_1=g$ .
  • Это задаёт отношение эквивалентности между непрерывными отображениями $X\to <!--\; \to \; -->Y$$X\to Y$ .

• Гомотопическая эквивалентность топологических пространств $X$$X$  и $Y$$Y$  — пара непрерывных отображений $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  и $g:<!--\; :\; -->Y\to <!--\; \to \; -->X$$g\colon Y\to X$  такая, что $f\circ <!--\; \circ \; -->g\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{id}}_Y$$f\circ g\sim \operatorname {id}_{Y}$  и $g\circ <!--\; \circ \; -->f\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{id}}_X$$g\circ f\sim \operatorname {id}_{X}$ , здесь $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$  обозначает гомотопность отображений. В этом случае также говорят, что $X$$X$  с $Y$$Y$  имеют один гомотопический тип.
  • Если $X$$X$  и $Y$$Y$  гомеоморфны ($X\simeq <!--\; \simeq \; -->Y$$X\simeq Y$ ), то они гомотопически эквивалентны; обратное в общем случае неверно.
  • Гомотопический инвариант — характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств; то есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.

• Если на некотором подмножестве $A\subset <!--\; \subset \; -->X,F(t,a)=f(a)$$A\subset X,\;F(t,a)=f(a)$  для всех $t$$t$  при $a\in <!--\; \in \; -->A$$a\in A$ , то $F$$F$  называется гомотопией относительно $A$$A$ , а $f$$f$  и $g$$g$  гомотопными относительно $A$$A$ .

• Отображение, гомотопное постоянному, то есть отображению в точку, называют стягиваемым или гомотопным нулю.

Вариации и обобщенияПравить

• Изотопия — гомотопия топологического пространства $X$$X$  по топологическому пространству $Y$$Y$  $f_t:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y,t\in <!--\; \in \; -->[0,1]$$f_{t}\colon X\to Y,\;t\in [0,1]$ , в которой при любом $t$$t$  отображение $f_t$$f_t$  является гомеоморфизмом $X$$X$  на $f_t(X)\subset <!--\; \subset \; -->Y$$f_{t}(X)\subset Y$ .

• Отображение $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  называется слабой гомотопической эквивалентностью, если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп. Подпространство $A$$A$  топологического пространства $X$$X$  такое, что включение $A\subset <!--\; \subset \; -->X$$A\subset X$  является слабой гомотопической эквивалентностью, называется репрезентативным подпространством.

• Если $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:E\to <!--\; \to \; -->X$$\varphi :E\to X$  и ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\prime }:E^{\prime }\to <!--\; \to \; -->X$$\varphi ':E'\to X$  есть произвольные расслоения над $X,$$X,$  то гомотопия $f_t:E\to <!--\; \to \; -->E^{\prime }$$f_{t}:E\to E'$  называется послойной, если ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\prime }{f}_t=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}.$$\varphi 'f_{t}=\varphi .$  Морфизмы $f,g:E\to <!--\; \to \; -->E^{\prime }$$f,g:E\to E'$  послойно гомотопны, если существует послойная гомотопия $f_t:E\to <!--\; \to \; -->E^{\prime },$$f_{t}:E\to E',$  для которой выполняются равенства $f_0=f$$f_{0}=f$  и $f_1=g.$$f_{1}=g.$  Морфизм $f:E\to <!--\; \to \; -->E^{\prime }$$f:E\to E'$  — послойная гомотопическая эквивалентность, если существует морфизм $g:E^{\prime }\to <!--\; \to \; -->E$$g:E'\to E$  такой, что $gf$$gf$  и $fg$$fg$  послойно гомотопны $\mathrm{I}\mathrm{d}.$$\mathrm {Id} .$  Расслоения $E$$E$  и $E^{\prime }$$E'$  принадлежат к одному и тому же послойному гомотопическому типу, если существует хотя бы одна послойная эквивалентность $f:E\to <!--\; \to \; -->E^{\prime }.$$f:E\to E'.$ 

См. такжеПравить

• Гомотопические группы
• Фундаментальная группа
• Цепная гомотопия

ЛитератураПравить

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971