J-гомоморфизм

J-гомоморфизм — гомоморфизм из гомотопических групп ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_r(\mathrm{S}\mathrm{O}(q))$$\pi _{r}(\mathrm {SO} (q))$ специальных ортогональных групп в гомотопические группы сфер. Он был определен Джорджем Уайтхедом как обобщение конструкции Хайнца Хопфа, который построил этот гомоморфизм для случая $r=q+1$$r=q+1$.

ПостроениеПравить

J-гомоморфизм есть гомоморфизм абелевых групп

$J:<!--\; :\; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_r(\mathrm{S}\mathrm{O}(q))\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{r+q}({\mathbb{S}}^q),$$J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi _{r+q}(\mathbb {S} ^{q}),$ 

определённый для всех целых чисел $r,q⩾<!--\; ⩾\; -->2$$r,q\geqslant 2$ .

Элемент специальной ортогональной группы $\mathrm{S}\mathrm{O}(q)$$\mathrm {SO} (q)$  можно рассматривать как отображение

${\mathbb{S}}^{q-<!--\; -\; -->1}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{S}}^{q-<!--\; -\; -->1}.$$\mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow \mathbb {S} ^{q-1}.$ 

Значит, элементам гомотопической группы ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_r(\mathrm{S}\mathrm{O}(q))$$\pi _{r}(\mathrm {SO} (q))$  сопоставляется гомотопический класс отображения

${\mathbb{S}}^r\times <!--\; \times \; -->{\mathbb{S}}^{q-<!--\; -\; -->1}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{S}}^{q-<!--\; -\; -->1}.$$\mathbb {S} ^{r}\times \mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow \mathbb {S} ^{q-1}.$ 

Применение к этому конструкции Хопфа даёт отображение

${\mathbb{S}}^{r+q}={\mathbb{S}}^r\ast <!--\; \ast \; -->{\mathbb{S}}^{q-<!--\; -\; -->1}\to <!--\; \to \; -->S({\mathbb{S}}^{q-<!--\; -\; -->1})={\mathbb{S}}^q,$$\mathbb {S} ^{r+q}=\mathbb {S} ^{r}*\mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow S(\mathbb {S} ^{q-1})=\mathbb {S} ^{q},$ 

гомотопический класс которого есть образ этого элемента при J-гомоморфизме.