Двоичная система счисления

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская; Тамильская; Бирманская	Кхмерская; Лаосская; Монгольская; Тайская
Восточноазиатские
Китайская; Японская; Сучжоу; Корейская	Вьетнамская; Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия; Армянская; Ариабхата; Кириллическая; Греческая	Грузинская; Эфиопская; Еврейская; Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская; Египетская; Этрусская; Римская; Дунайская	Аттическая; Кипу; Майяская; Эгейская; Символы КППУ
Позиционные
	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
	Нега-позиционная
	Симметричная
Смешанные системы
	Фибоначчиева
Непозиционные
	Единичная (унарная)

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.

Двоичная запись чиселПравить

В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 5₁₀, в двоичной 101₂. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд)^[1], например 0b101 или соответственно &101.

В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 101₂ произносится «один ноль один».

Натуральные числаПравить

Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}$ , имеет значение:

\text{[math]}

(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}2^{k},

где:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ — количество цифр (знаков) в числе,
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a_{k}$ — значения цифр из множества {0,1},
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $k$ — порядковый номер цифры.

Отрицательные числаПравить

Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(-a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}$ , имеет величину:

\text{[math]}

(-a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}=-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}2^{k}.

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде.

Дробные числаПравить

Дробное число, записываемое в двоичной системе счисления как $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{2}$ , имеет величину:

(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{2}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},

где:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m$ — количество цифр дробной части числа,
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a_{k}$ — значения цифр из множества $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\{0,1\}$ .

Сложение, вычитание и умножение двоичных чиселПравить

Таблица сложения

+	0	1
0	0	1
1	1	0 (перенос 1 в старший разряд)

Таблица вычитания

-	0	1
0	0	1
1	1(заём из старшего разряда)	0

Пример сложения «столбиком» (десятичное выражение 14₁₀ + 5₁₀ = 19₁₀ в двоичном виде выглядит как 1110₂ + 101₂ = 10011₂):

+		1	1	1	0
		1	0	1

	1	0	0	1	1

Таблица умножения

×	0	1
0	0	0
1	0	1

Пример умножения «столбиком» (десятичное выражение 14₁₀ * 5₁₀ = 70₁₀ в двоичном виде выглядит как 1110₂ * 101₂ = 1000110₂):

×				1	1	1	0
				1	0	1

+				1	1	1	0
	1	1	1	0

	1	0	0	0	1	1	0

Преобразование чиселПравить

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:


1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичныеПравить

Допустим, дано двоичное число 110001₂. Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом:

1 * 2⁵ + 1 * 2⁴ + 0 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 49

То же самое чуть иначе:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:


512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	1	0	0	0	1
				+32	+16	+0	+0	+0	+1

Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 110001₂ равнозначно десятичному 49₁₀.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичныеПравить

Нужно перевести число 1011010,101₂ в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

1 * 2⁶ + 0 * 2⁵ + 1 * 2⁴ + 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2⁰ + 1 * 2⁻¹ + 0 * 2⁻² + 1 * 2⁻³ = 90,625

То же самое чуть иначе:

1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625

Или по таблице:

64	32	16	8	4	2	1		0.5	0.25	0.125
1	0	1	1	0	1	0	,	1	0	1
+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0		+0.5	+0	+0.125

Преобразование методом ГорнераПравить

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Методом Горнера обычно переводят из двоичной в десятичную систему. Обратная операция затруднительна, так как требует навыков сложения и умножения в двоичной системе счисления.

Например, двоичное число 1011011₂ переводится в десятичную систему так:

0*2 + 1 = 1
1*2 + 0 = 2
2*2 + 1 = 5
5*2 + 1 = 11
11*2 + 0 = 22
22*2 + 1 = 45
45*2 + 1 = 91

То есть в десятичной системе это число будет записано как 91.

Перевод дробной части чисел методом ГорнераПравить

Цифры берутся из числа справа налево и делятся на основу системы счисления (2).

Например 0,1101₂

(0 + 1)/2 = 0,5
(0,5 + 0)/2 = 0,25
(0,25 + 1)/2 = 0,625
(0,625 + 1)/2 = 0,8125

Ответ: 0,1101₂= 0,8125₁₀

Преобразование десятичных чисел в двоичныеПравить

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

19/2 = 9 с остатком 1
9/2 = 4 c остатком 1
4/2 = 2 без остатка 0
2/2 = 1 без остатка 0
1/2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т. д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичныеПравить

Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 206₁₀=11001110₂ по ранее описанным алгоритмам. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

0,116 • 2 = 0,232
0,232 • 2 = 0,464
0,464 • 2 = 0,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = 0,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = 0,784
и т. д.

Таким образом 0,116₁₀ ≈ 0,0001110110₂

Получим: 206,116₁₀ ≈ 11001110,0001110110₂

ПримененияПравить

В цифровых устройствахПравить

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора,

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде. Например, число −5₁₀ может быть записано как −101₂ но в 32-битном компьютере будет храниться как 11111111111111111111111111111011₂.

ОбобщенияПравить

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.

ИсторияПравить

Полный набор из 8 триграмм и 64 гексаграмм, аналог 3-битных и 6-битных цифр, был известен в древнем Китае в классических текстах книги Перемен. Порядок гексаграмм в книге Перемен, расположенных в соответствии со значениями соответствующих двоичных цифр (от 0 до 63), и метод их получения был разработан китайским учёным и философом Шао Юн в XI веке. Однако нет доказательств, свидетельствующих о том, что Шао Юн понимал правила двоичной арифметики, располагая двухсимвольные кортежи в лексикографическом порядке.
Индийский математик Пингала (200 год до н. э.) разработал математические основы для описания поэзии с использованием первого известного применения двоичной системы счисления^[2]^[3].

Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы^[4], так и не числовых записей в двоичной системе кодирования^[5]. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных^[6]. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта, как двойная запись^[7].
Наборы, представляющие собой комбинации двоичных цифр, использовались африканцами в традиционных гаданиях (таких как Ифа) наряду со средневековой геомантией.
В 1605 году Френсис Бэкон описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр, которые в свою очередь могут быть закодированы как едва заметные изменения шрифта в любых случайных текстах. Важным шагом в становлении общей теории двоичного кодирования является замечание о том, что указанный метод может быть использован применительно к любым объектам^[8] (см. Шифр Бэкона).

Современная двоичная система была полностью описана Лейбницем в XVII веке в работе Explication de l’Arithmétique Binaire^[9]. В системе счисления Лейбница были использованы цифры 0 и 1, как и в современной двоичной системе. Как человек, увлекающийся китайской культурой, Лейбниц знал о книге Перемен и заметил, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Он восхищался тем, что это отображение является свидетельством крупных китайских достижений в философской математике того времени^[10].

В 1854 году английский математик Джордж Буль опубликовал знаковую работу, описывающую алгебраические системы применительно к логике, которая в настоящее время известна как Булева алгебра или алгебра логики. Его логическому исчислению было суждено сыграть важную роль в разработке современных цифровых электронных схем.
В 1937 году Клод Шеннон представил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в MIT, в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника.
В ноябре 1937 года Джордж Штибиц, впоследствии работавший в Bell Labs, создал на базе реле компьютер «Model K» (от англ. «Kitchen», кухня, где производилась сборка), который выполнял двоичное сложение. В конце 1938 года Bell Labs развернула исследовательскую программу во главе со Штибицом. Созданный под его руководством компьютер, завершённый 8 января 1940 года, умел выполнять операции с комплексными числами. Во время демонстрации на конференции American Mathematical Society в Дартмутском колледже 11 сентября 1940 года Штибиц продемонстрировал возможность посылки команд удалённому калькулятору комплексных чисел по телефонной линии с использованием телетайпа. Это была первая попытка использования удалённой вычислительной машины посредством телефонной линии. Среди участников конференции, бывших свидетелями демонстрации, были Джон фон Нейман, Джон Мокли и Норберт Винер, впоследствии писавшие об этом в своих мемуарах.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ Попова Ольга Владимировна. Учебное пособие по информатике (неопр.). Дата обращения: 3 ноября 2014. Архивировано 3 ноября 2014 года.
↑ Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), Microcontroller programming: the microchip PIC, Boca Raton, Florida: CRC Press, с. 37, ISBN 0-8493-7189-9
↑ W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
↑ Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — New York: Barnes & Noble, 1996. — С. 80. — ISBN 0-88029-595-3.
↑ Experts 'decipher' Inca strings (неопр.). Архивировано 18 августа 2011 года.
↑ Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus (неопр.). — С. 49.
↑ Dale Buckmaster. The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis (англ.) // Journal of Accounting Research (англ.) (рус. : journal. — 1974. — Vol. 12, no. 1. — P. 178—181.
↑ Bacon, Francis, The Advancement of Learning, vol. 6, London, с. Chapter 1, <http://home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch1.html> Архивная копия от 18 марта 2017 на Wayback Machine
↑ http://www.leibniz-translations.com/binary.htm Архивная копия от 11 февраля 2021 на Wayback Machine Leibniz Translation.com EXPLANATION OF BINARY ARITHMETIC
↑ Aiton, Eric J. (1985), Leibniz: A Biography, Taylor & Francis, с. 245–8, ISBN 0-85274-470-6

СсылкиПравить

Бинарное счисление // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Учебное пособие «Арифметические основы ЭВМ и систем». Часть 1. Системы счисления
Hexadecimal Decimal Binary Octal Converter for programmers Архивная копия от 21 февраля 2011 на Wayback Machine
Конвертер целых и дробных чисел из двоичной системы счисления в десятичную.
Фомин С. В. Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). (альтернативная ссылка), (альтернативная ссылка на сайт РГБ)
Системы счисления : методические указания и задание к самостоятельной работе по дисциплине "Информатика" для студентов всех специальностей. — Саратов: Саратовский гос. технический ун-т, 2009. — 24 с.
Любомудров А.А. Системы счисления. Методы перевода чисел из позиционной системы счисления с основанием p1 в позиционную систему счисления с основанием p2. — М.: НИЯУ МИФИ, 2009. — 28 с.
Андреева Е. В. Системы счисления и компьютерная арифметика : учеб. пособие. — изд. 3-е. — М.: Бином. Лаб. знаний, 2004. — 254 с.
Системы счисления (16 сент. 2014 г.)
МГИУ : Информатика. Выпуск 1. Системы счисления. (21 февр. 2014 г.)
Двоичная система счисления — визуальное объяснение принципа работы позиционных систем счисления (в частности, двоичной)

[1] Попова Ольга Владимировна. Учебное пособие по информатике (неопр.). Дата обращения: 3 ноября 2014. Архивировано 3 ноября 2014 года.

[2] Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), Microcontroller programming: the microchip PIC, Boca Raton, Florida: CRC Press, с. 37, ISBN 0-8493-7189-9

[3] W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X

[4] Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — New York: Barnes & Noble, 1996. — С. 80. — ISBN 0-88029-595-3.

[5] Experts 'decipher' Inca strings (неопр.). Архивировано 18 августа 2011 года.

[6] Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus (неопр.). — С. 49.

[autogenerated1-7] Dale Buckmaster. The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis (англ.) // Journal of Accounting Research (англ.) (рус. : journal. — 1974. — Vol. 12, no. 1. — P. 178—181.

[8] Bacon, Francis, The Advancement of Learning, vol. 6, London, с. Chapter 1, <http://home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch1.html> Архивная копия от 18 марта 2017 на Wayback Machine

[9] ttp://www.leibniz-translations.com/binary.htm Архивная копия от 11 февраля 2021 на Wayback Machine Leibniz Translation.com EXPLANATION OF BINARY ARITHMETIC

[10] Aiton, Eric J. (1985), Leibniz: A Biography, Taylor & Francis, с. 245–8, ISBN 0-85274-470-6

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская Тамильская Бирманская	Кхмерская Лаосская Монгольская Тайская
Восточноазиатские
Китайская Японская Сучжоу Корейская	Вьетнамская Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая Греческая	Грузинская Эфиопская Еврейская Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская Египетская Этрусская Римская Дунайская	Аттическая Кипу Майяская Эгейская Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)