Двенадцатеричная система счисления

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская; Тамильская; Бирманская	Кхмерская; Лаосская; Монгольская; Тайская
Восточноазиатские
Китайская; Японская; Сучжоу; Корейская	Вьетнамская; Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия; Армянская; Ариабхата; Кириллическая; Греческая	Грузинская; Эфиопская; Еврейская; Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская; Египетская; Этрусская; Римская; Дунайская	Аттическая; Кипу; Майяская; Эгейская; Символы КППУ
Позиционные
	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
	Нега-позиционная
	Симметричная
Смешанные системы
	Фибоначчиева
Непозиционные
	Единичная (унарная)

Двенадцатеричная система счисления — позиционная система счисления с основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Существует другая система обозначения, где для недостающих цифр используют не A и B, а T (от англ. ten, десять) или D (от лат. decem, фр. dix, десять) или X (римское десять), а также E (от англ. eleven, одиннадцать) или O (от фр. onze, одиннадцать). Кроме того, на Западе иногда вместо A используют перевёрнутую двойку (, U+218A ↊ turned digit two) и вместо B перевёрнутую тройку ( , U+218B ↋ turned digit three).

Число 12 могло бы быть очень удобным основанием системы счисления, так как оно делится нацело на 2, 3, 4 и 6, в то время как число 10 — основание десятичной системы счисления — делится нацело лишь на 2 и 5.

ИсторияПравить

Двенадцатеричная система счисления сохранилась и в русском языке — для обозначения 12 предметов мы говорим «дюжина», в XX веке многие предметы, в частности, столовые приборы, считали дюжинами. Посуда традиционно продаётся сервизами на 12 или 6 персон^[1].

Пальцевой фаланговый счёт дюжинами

Происхождение 12-ричной системы счисления не вызывает сомнений — это пальцевой фаланговый счёт, при котором большим пальцем руки считают каждую фалангу четырёх пальцев той же руки^[1].

Двенадцатеричный пальцевый счёт распространён на территории Индии, Индокитая, Пакистана, Афганистана, Ирана, Турции, Ирака, Сирии и Египта. Поэтому, предположительно, двенадцатеричная система счисления возникла в древнем Шумере, а позже использовалась в Ассирии и Вавилоне для деления дня и ночи на 12 равных частей (называемых «danna»), что удобно в силу совместимости двенадцатеричной системы счисления с шестидесятиричной (12 является делителем для 60). Также у них делили эклиптику на 12 «beru», по 30° каждая^[2]^[3] А в древнем Египте светлое и тёмное время суток делили на 12 частей разной длительности^[2].

В настоящее время двенадцатеричная система счисления используется жителями Тибета^[4]

Некоторые народы Нигерии также используют двенадцатеричную систему счисления в настоящее время.^{[источник не указан 783 дня]}

Также существует гипотеза, что до 12 считали сидя, загибая не только 10 пальцев рук, но и 2 ноги. Хотя, возможно, такое случалось, когда европейцам приходилось сталкиваться с восточным двенадцатеричным счётом.^{[источник не указан 783 дня]}

В Древнем Риме стандартной дробью была унция (лат. uncia) — ¹⁄₁₂ часть.

Двенадцатеричная система встречается в английской («имперской») системе мер, используемой до сих пор, 1 дюйм = ¹⁄₁₂ фута. Английские монеты также до 1968 года были основаны на ней: 12 пенни (пенсов) равнялись одному шиллингу^[5].

В германских языках имеются отдельные числительные для обозначения 11 и 12, например, английские eleven (11) и twelve (12). Однако в прагерманском языке слова ainlif и twalif (буквально «один слева» и «два слева»), предполагают десятичный счёт^[6]^[7].

Переход на двенадцатеричную систему счисления предлагался неоднократно. В XVIII веке её сторонником был знаменитый французский естествоиспытатель Бюффон. Во времена Великой французской революции была учреждена «Революционная комиссия по весам и мерам», которая длительный период рассматривала подобный проект, однако усилиями Лагранжа и других противников реформы дело удалось свернуть. В 1944 году было организовано «Американское двенадцатеричное общество» (англ. The Dozenal Society of America (DSA)), а в 1959 — «Английское двенадцатеричное общество» (англ. The Dozenal Society of Great Britain (DSGB)), объединившие активных сторонников одноимённой системы счисления. Однако главным аргументом против этого всегда служили огромные затраты и неизбежная путаница при переходе. ^{[источник не указан 2627 дней]}

Двенадцатеричный счётПравить

Элементом двенадцатеричной системы в современности может служить счёт дюжинами^[8].

Первые три степени числа 12 имеют собственные названия^[5]:

1 дюжина = 12 штук
1 гросс = 12 дюжин = 144 штуки
1 масса = 12 гроссов = 144 дюжины = 1728 штук

К удобствам двенадцатеричного счисления можно отнести большее (по сравнению с десятичной системой) количество делителей основания 12: 2, 3, 4, 6. На практике двенадцатеричная система (в смешанном виде) в настоящее время повсеместно распространена в часах^[5].

Таблица умножения в двенадцатеричной СС
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
2	2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A	20
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29	30
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38	40
5	5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47	50
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56	60
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65	70
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74	80
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83	90
A	A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92	A0
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1	B0
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	A0	B0	100

Упоминание в фантастикеПравить

Двенадцатеричная система счисления упоминается и в фантастической литературе:

применяется эльфами в книгах Дж. Р. Р. Толкина;
используется расой, заселившей Землю, после экспансии людей в галактику в романе Уолтера Миллера «Банк крови»;
используется людьми будущего в романе Герберта Уэллса «Когда спящий проснётся», новелле Гарри Гаррисона «История конца» и рассказе Джеймса Блиша «Маникюр»;
часто встречается в головоломках компьютерной игры Schizm 2 Chameleon;
применяется в Мире Стержня в циклах книг Макса Фрая;
в повести Джеральда Дэвида Нордли «Последняя инстанция» двенадцатеричной системой пользуется инопланетная раса ду’утианцев.

См. такжеПравить

12 (число)

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² Фомин, 1987, с. 8.
↑ ¹ ² Macey S. L. The Dynamics of Progress : Time, Method, and Measure : [англ.] / Samuel L. Macey. — Atlanta, Georgia : University of Georgia Press (англ.) (рус., 1989. — P. 92. — 288 p. — ISBN 978-0-8203-3796-8. — ISBN 082033796X.
↑ Ifrah G. The Universal History of Numbers : From prehistory to the invention of the computer : [англ.] / Ифра, Джордж^ru_en. — John Wiley and Sons, 2000. — ISBN 0-471-39340-1.
↑ Nishikawa Y. ヒマラヤの満月と十二進法 : [] : [арх. 29 марта 2008] / Yoshiaki Nishikawa. — 2002. — [Пер. названия: Гималайская двенадцатеричная система и период полнолуния].
↑ ¹ ² ³ Фомин, 1987, с. 9.
↑ von Mengden F. The peculiarities of the Old English numeral system // Medieval English and its Heritage Structure : Meaning and Mechanisms of Change : [англ.] / Ferdinand von Mengden ; Eds.: Nikolaus Ritt, Herbert Schendl, Christiane Dalton-Puffer, Dieter Kastovsky. — Frankfurt : Peter Lang, 2006. — Vol. 16. — P. 125–145. — (Studies in English Medieval Language and Literature).
↑ von Mengden F. Cardinal Numerals : Old English from a Cross-Linguistic Perspective : [англ.] / Ferdinand von Mengden. — Berlin; New York : De Gruyter Mouton, 2010. — Vol. 67. — P. 159–161. — (Topics in English Linguistics).
↑ Фомин, 1987, с. 8–9.

ЛитератураПравить

Фомин, С. В. § 3. Другие системы счисления и их происхождение // Системы счисления : [арх. 25 мая 2006]. — 5-е изд. — М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — С. 8–10. — 48 с. — (Попул. лекц. по мат. ; вып. 40). — 27 000 экз. — ББК 22.131. — УДК 511.2(021)^(G).
Ifrah, G. From one to zero : A universal history of numbers : [англ.]. — New York : Viking Penguin, 1985. — xvi+503 p. — ISBN 0-14-009919-0.

СсылкиПравить

Whitten, N. A Comprehensive Dozenal Counting System : How to count in duodecimal – number names, scientific notation, prefixes, and abbreviations : Revised 10 March 2006 : [арх. 21 мая 2011] // Whitten Words : [англ.]. — 2004.
Nature's Numbers : [англ.] : [арх. 13 апреля 2001] / Bill Lauritzen ; Buckminster Fuller Institute; Dozenal Society of America. — 1994.

[_cf15d1648751225b-1] ¹ ² Фомин, 1987, с. 8.

[Macey-2] ¹ ² Macey S. L. The Dynamics of Progress : Time, Method, and Measure : [англ.] / Samuel L. Macey. — Atlanta, Georgia : University of Georgia Press (англ.) (рус., 1989. — P. 92. — 288 p. — ISBN 978-0-8203-3796-8. — ISBN 082033796X.

[Ifrah-3] Ifrah G. The Universal History of Numbers : From prehistory to the invention of the computer : [англ.] / Ифра, Джордж^ru_en. — John Wiley and Sons, 2000. — ISBN 0-471-39340-1.

[4] Nishikawa Y. ヒマラヤの満月と十二進法 : [] : [арх. 29 марта 2008] / Yoshiaki Nishikawa. — 2002. — [Пер. названия: Гималайская двенадцатеричная система и период полнолуния].

[_cf15d1648751225a-5] ¹ ² ³ Фомин, 1987, с. 9.

[6] von Mengden F. The peculiarities of the Old English numeral system // Medieval English and its Heritage Structure : Meaning and Mechanisms of Change : [англ.] / Ferdinand von Mengden ; Eds.: Nikolaus Ritt, Herbert Schendl, Christiane Dalton-Puffer, Dieter Kastovsky. — Frankfurt : Peter Lang, 2006. — Vol. 16. — P. 125–145. — (Studies in English Medieval Language and Literature).

[7] von Mengden F. Cardinal Numerals : Old English from a Cross-Linguistic Perspective : [англ.] / Ferdinand von Mengden. — Berlin; New York : De Gruyter Mouton, 2010. — Vol. 67. — P. 159–161. — (Topics in English Linguistics).

[_0ff52c7d1a65eb41-8] Фомин, 1987, с. 8–9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская Тамильская Бирманская	Кхмерская Лаосская Монгольская Тайская
Восточноазиатские
Китайская Японская Сучжоу Корейская	Вьетнамская Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая Греческая	Грузинская Эфиопская Еврейская Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская Египетская Этрусская Римская Дунайская	Аттическая Кипу Майяская Эгейская Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
2	2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A	20
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29	30
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38	40
5	5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47	50
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56	60
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65	70
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74	80
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83	90
A	A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92	A0
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1	B0
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	A0	B0	100

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
2	2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A	20
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29	30
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38	40
5	5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47	50
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56	60
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65	70
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74	80
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83	90
A	A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92	A0
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1	B0
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	A0	B0	100

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
2	2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A	20
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29	30
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38	40
5	5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47	50
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56	60
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65	70
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74	80
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83	90
A	A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92	A0
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1	B0
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	A0	B0	100