Банахова алгебра

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->A,\Vert <!--\; \Vert \; -->xy\Vert <!--\; \Vert \; -->\le <!--\; \le \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->y\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\forall x, y \in A , \|x \, y\| \ \leq \|x \| \, \| y\|$.

Это свойство требуется для непрерывности операции умножения относительно нормы.

Банахова алгебра называется унитальной или банаховой алгеброй с единицей, если она обладает единицей (то есть таким элементом $\mathbf{1}$$\mathbf{1}$, что для всех $x\in <!--\; \in \; -->A$$x\in A$ справедливо $x\mathbf{1}=\mathbf{1}x=x$$x\mathbf{1}=\mathbf{1} x=x$). При этом обычно требуют, чтобы норма единицы была равна 1. Если единица существует, то она единственна. Всякую банахову алгебру $A$$A$ можно изометрически вложить в соответствующую ей унитальную банахову алгебру $A_e$$A_e$ в качестве замкнутого двустороннего идеала.

Банахова алгебра называется коммутативной, если операция умножения в ней коммутативна.

ПримерыПравить

• Поля комплексных чисел или действительных чисел — $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  и $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  относительно стандартных операций сложения и умножения. Это унитальные коммутативные алгебры.
• Алгебры комплексных или действительных матриц относительно матричного умножения и субмультипликативной матричной нормы.
• Алгебра кватернионов является действительной алгеброй с нормой — модулем.
• $C(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})$$C( \Omega )$  — алгебра непрерывных функций на компакте относительно поточечного умножения относительно sup-нормы. Более общий пример — $C_0(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})$$C_0( \Omega )$  — пространство исчезающих на бесконечности комплекснозначных функций, где $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  — локально компактное пространство.
• Алгебра ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве, относительно операторной нормы и композиции в качестве умножения. Множество компактных операторов относительно тех же операций является замкнутым идеалом в этой алгебре.
• Если $G$$G$  — локально компактная хаусдорфова топологическая группа с мерой Хаара $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ , то банахово пространство $L_1(G)$$L_1(G)$  интегрируемых относительно меры $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  комплекснозначных функций на $G$$G$  является банаховой алгеброй относительно умножения-свёртки, определяемой по формуле

$(xy)(g)={\int <!--\; \int \; -->}_{G}x(h)y(h^{-<!--\; -\; -->1}g)\mathrm{d}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(h),g\in <!--\; \in \; -->G$$(xy)(g) = \int_G x(h) y(h^{-1}g) \, \mathrm{d}\mu(h), \; g \in G$ .

• $L_1(\mathbb{R})$$L_1(\mathbb R)$  — алгебра суммируемых на прямой функций со сверткой в качестве умножения. Это частный случай предыдущего примера.
• C*-алгебра — алгебра с *-инволюцией, согласованной с нормой: $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a||a^{\ast <!--\; \ast \; -->}a||=||a|{|}^2$$\forall a \ ||a^*a||=||a||^2$ 

СвойстваПравить

Некоторые элементарные функции можно при помощи степенных рядов определить для элементов банаховой алгебры. В частности, можно определить экспоненту элемента банаховой алгебры, тригонометрические функции, и, в общем случае, любую целую функцию. Для элементов банаховой алгебры остаётся справедливой формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ряд Неймана).

Множество обратимых элементов $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(A)$$\mathrm{Inv}(A)$  алгебры $A$$A$  является открытым множеством. При этом отображение $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}$$\mathrm{Inv}$ , сопоставляющее каждому обратимому элементу обратный, является гомеоморфизмом. Таким образом, $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(A)$$\mathrm{Inv}(A)$  — топологическая группа.

В унитальной алгебре единица не может быть коммутатором: $xy-<!--\; -\; -->yx\ne <!--\; \ne \; -->\mathbf{1}$$xy - yx \ne \mathbf{1}$   для любых x, y ∈ A. Отсюда следует, что $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathbf{1},\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->0$$\lambda \mathbf{1}, \ \lambda \ne 0$  также не является коммутатором.

Справедлива теорема Гельфанда-Мазура: каждая унитальная комплексная банахова алгебра, в которой все ненулевые элементы обратимы, изоморфна $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ .

Спектральная теорияПравить

В унитальных банаховых алгебрах вводится понятие спектра, которое расширяет понятие спектра оператора на более общий класс объектов.

Элемент $a\in <!--\; \in \; -->A$$a\in A$  алгебры $A$$A$  называется обратимым, если найдется такой элемент $a^{-<!--\; -\; -->1}\in <!--\; \in \; -->A$$a^{-1} \in A$ , что $a{a}^{-<!--\; -\; -->1}=a^{-<!--\; -\; -->1}a=\mathbf{1}$$aa^{-1}=a^{-1}a=\mathbf{1}$ . Спектром $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(a)$$\sigma(a)$  элемента $a$$a$  называется множество таких $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C},$$\lambda \in \mathbb{C},$  что элемент $a-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathbf{1}$$a-\lambda \mathbf{1}$  необратим. Спектр всякого элемента унитальной комплексной банаховой алгебры — непустой компакт. С другой стороны, для любого компакта $K\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$K \subset \mathbb{C}$  спектр элемента $w$$w$  из алгебры $C(K)$$C(K)$ , определяемого по формуле $w(z)=z$$w(z)=z$ , совпадает с $K$$K$ , поэтому других ограничений на спектр элемента в произвольной банаховой алгебре нет.

Спектральным радиусом $\mathrm{r}(x)$$\mathrm{r}(x)$  элемента $x\in <!--\; \in \; -->A$$x\in A$  называется величина

$\mathrm{r}(x)=sup\{|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|:\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(x)\}$$\mathrm{r}(x) = \sup \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(x) \}$ .

Справедлива формула Бёрлинга-Гельфанда для спектрального радиуса:

$\mathrm{r}(x)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\Vert <!--\; \Vert \; -->x^n{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^{1/n}.$$\mathrm{r}(x) = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.$ 

Резольвентным множеством элемента $a\in <!--\; \in \; -->A$$a\in A$  называется множество $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(a)=\mathbb{C}\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(a)$$\rho(a) = \mathbb{C} \setminus \sigma(a)$ . Резольвентное множество элемента банаховой алгебры всегда открыто. Резольвентой элемента $a\in <!--\; \in \; -->A$$a\in A$  называется функция комплексной переменной $R_a:<!--\; :\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(a)\to <!--\; \to \; -->A$$R_a \colon \rho(a) \to A$ , определяемая формулой $R_a(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathbf{1}-<!--\; -\; -->a{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$R_a(\lambda) = (\lambda\mathbf{1} - a)^{-1}$ . Резольвента элемента банаховой алгебры является голоморфной функцией.

Если $f$$f$  — голоморфная в окрестности $D\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$D\subset {\mathbb {C}}$  спектра $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(a)$$\sigma(a)$  функция, можно определить $f(a)\in <!--\; \in \; -->A$$f(a) \in A$  по формуле

$f(a)=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}{\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})R_a(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})\mathrm{d}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$f(a) = \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma f(\lambda) R_a(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda$ ,

где $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  — спрямляемый жорданов контур, лежащий в $D$$D$ , содержащий спектр элемента $x$$x$  и ориентированный положительно, а $R_a$$R_{a}$  — резольвента элемента $a$$a$ . В частности, при помощи этой формулы можно определить экспоненту элемента из банаховой алгебры.

Идеалы и характерыПравить

Пусть A — унитальная коммутативная банахова алгебра над полем комплексных чисел. Характером χ алгебры A называется ненулевой линейный функционал, обладающий свойством мультипликативности: для любых a, b ∈ A справедливо χ(ab) = χ(a)χ(b) и χ(1) = 1. То есть характер — это ненулевой гомоморфизм алгебр A и $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ . Можно проверить, что всякий характер в банаховой алгебре непрерывен и его норма равна 1.

Ядро характера представляет собой максимальный идеал в A. Если $\mathfrak{m}$$\mathfrak{m}$  — максимальный идеал, то факторалгебра $A/\mathfrak{m}$$A/\mathfrak{m}$  является полем и банаховой алгеброй, тогда, по теореме Гельфанда-Мазура, она изоморфна $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ . Поэтому каждому максимальному идеалу $\mathfrak{m}$$\mathfrak{m}$  можно поставить в соответствие единственный характер χ такой, что ker χ = $\mathfrak{m}$$\mathfrak{m}$ . Этот характер определяется как композиция факторотображения и изоморфизма $A/\mathfrak{m}$$A/\mathfrak{m}$  в $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ . Таким образом между множеством характеров и множеством максимальных идеалов установлена биекция.

Множество всех характеров называется пространством максимальных идеалов или спектром алгебры A и обозначается Spec A. Это множество можно наделить топологией, унаследованной от слабой* топологии (топологии поточечной сходимости) в сопряженном пространстве A^*. Из теоремы Банаха-Алаоглу и замкнутости Spec A следует, что Spec A — компактное хаусдорфово топологическое пространство.

Преобразованием Гельфанда элемента $a$$a$  алгебры A называется непрерывная функция $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}:<!--\; :\; -->\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$\hat{a} \colon \mathrm{Spec}\, A \to \mathbb{C}$ , определяемая по формуле $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}(\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->})=\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(a)$$\hat{a}(\chi) = \chi(a)$  для всех характеров χ. Преобразование Гельфанда осуществляет сжимающий гомоморфизм алгебры A в алгебру C(Spec A) непрерывных функций на компакте.

Радикалом алгебры A называется пересечение всех её максимальных идеалов. Если радикал состоит только из нуля, алгебра A называется полупростой. Ядро преобразования Гельфанда совпадает с радикалом алгебры, поэтому преобразование Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда алгебра A полупроста. Таким образом, всякая полупростая коммутативная банахова алгебра с единицей совпадает с точностью до изоморфизма с некоторой алгеброй функций, непрерывных на компакте — с образом преобразования Гельфанда.

ЛитератураПравить

• Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.
• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.
• Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. — М.: Наука, 1989. — ISBN 5-02-014192-5.