Ряд Неймана

Ряд Неймана — это ряд вида:

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{T}^n,$$\sum _{{n=0}}^{{\infty }}T^{n},$

где $T$$T$ — это некоторый оператор. В этом случае $T^n$$T^{n}$ означает суперпозицию из $n$$n$ одинаковых операторов $T$$T$. Если же $T$$T$ — элемент кольца, то $T^n$$T^{n}$ будет означать $n$$n$-ю степень элемента $T$$T$.

Ряд Неймана является обобщением понятия суммы геометрической прогрессии.

Основным свойством ряда Неймана является то, что

$(I-<!--\; -\; -->T{)}^{-<!--\; -\; -->1}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{T}^n,$$(I-T)^{{-1}}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}T^{n},$

где $I$$I$ — единичный элемент. В случае операторов для этого достаточно того, чтобы линейный ограниченный оператор $T$$T$, действующий в банаховом пространстве $X$$X$, имел норму либо спектральный радиус, меньший единицы. Так, в случае матриц данный ряд позволяет обратить матрицу вида $I-<!--\; -\; -->F$$I-F$, где $\lambda _{{max}}(F)<1$ — максимальное собственное значение матрицы $F$$F$.

В случае кольца с единицей конструкция, аналогичная ряду Неймана, позволяет обращать элементы вида $1-<!--\; -\; -->p$$1-p$, где $p$$p$ — нильпотент. В этом случае ряд Неймана принимает вид конечной суммы

$\underset{n=0}{\overset{m-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{p}^n,$$\sum _{{n=0}}^{{m-1}}p^{n},$

где $m$$m$ — индекс нильпотента $p$$p$.

См. такжеПравить

• Ряд Лиувилля — Неймана